Distancia de Levenshtein

En Teoría de la información y Ciencias de la Computación se llama Distancia de Levenshtein, distancia de edición, o distancia entre palabras, al número mínimo de operaciones requeridas para transformar una cadena de caracteres en otra. Se entiende por operación, bien una inserción, eliminación o la sustitución de un carácter. Esta distancia recibe ese nombre en honor al científico ruso Vladimir Levenshtein, quien se ocupara de esta distancia en 1965. Es útil en programas que determinan cuán similares son dos cadenas de caracteres, como es el caso de los correctores de ortografía.

Por ejemplo, la distancia de Levenshtein entre "casa" y "calle" es de 3 porque se necesitan al menos tres ediciones elementales para cambiar uno en el otro.

1. casa → cala (sustitución de 's' por 'l')
2. cala → calla (inserción de 'l' entre 'l' y 'a')
3. calla → calle (sustitución de 'a' por 'e')

Se le considera una generalización de la distancia de Hamming, que se usa para cadenas de la misma longitud y que solo considera como operación la sustitución. Hay otras generalizaciones de la distancia de Levenshtein, como la distancia de Damerau-Levenshtein, que consideran el intercambio de dos caracteres como una operación

El algoritmo

Se trata de un algoritmo de tipo bottom-up, común en programación dinámica. Se apoya en el uso de una matriz (n + 1) × (m + 1), donde n y m son las longitudes de los cadenas. Aquí se indica el algoritmo en pseudocódigo para una función LevenshteinDistance que toma dos cadenas, str1 de longitud lenStr1, y str2 de longitud lenStr2, y calcula la distancia Levenshtein entre ellos:

int LevenshteinDistance(char str1[1..lenStr1], char str2[1..lenStr2])
   // d is a table with lenStr1+1 rows and lenStr2+1 columns
   declare int d[0..lenStr1, 0..lenStr2]
   // i and j are used to iterate over str1 and str2
   declare int i, j, cost
 
   for i from 0 to lenStr1
       d[i, 0] := i
   for j from 0 to lenStr2
       d[0, j] := j
 
   for i from 1 to lenStr1
       for j from 1 to lenStr2
           if str1[i] = str2[j] then cost := 0
                                else cost := 1
           d[i, j] := minimum(
                                d[i-1, j] + 1,     // deletion
                                d[i, j-1] + 1,     // insertion
                                d[i-1, j-1] + cost   // substitution
                            )
 
   return d[lenStr1, lenStr2]

El invariante mantenido a través del algorítmo es que pueda transformar el segmento inicial str1[1..i] en str2[1..j] empleando un mínimo de d[i,j] operaciones. Al final, el elemento ubicado en la parte INFERIOR derecha de la matriz contiene la respuesta.

Implementación

A continuación se puede ver la implementación de la función para varios lenguajes de programación. Otros lenguajes de más alto nível, como php o la funciones de usuario de MySQL, las incorporan ya, sin necesidad de implementarla para ser usada.

C++

#include <string>
#include <vector>
#include <algorithm>
 
using namespace std;
 
int levenshtein(const string &s1, const string &s2)
{
   int N1 = s1.size();
   int N2 = s2.size();
   vector<int> T(N2+1);
   int i, j;
 
   for ( i = 0; i <= N2; i++ )
      T[i] = i;
 
   for ( i = 0; i < N1; i++ ) {
      T[0] = i+1;
      int corner = i;
      for ( j = 0; j < N2; j++ ) {
         int upper = T[j+1];
         T[j+1] = ( s1[i] == s2[j] ) ? corner : (min(T[j], min(upper, corner)) + 1);
         corner = upper;
      }
   }
   return T[N2];
}

Objective-C (block programming)

int (^levenshteinDistance)(NSString*,NSString*) = ^(NSString *str1, NSString *str2){
 
    int d[ [str1 length]+1 ] [ [str2 length]+1 ];
    int i, j;
 
    for (i = 0; i <= [str1 length]; i++)
        d[i][0] = i;
 
    for (j = 0; j <= [str2 length]; j++)
        d[0][j] = j;
 
    for (i = 1; i <= [str1 length]; i++)
        for (j = 1; j <= [str2 length]; j++)
            d[i][j] = MIN( MIN(d[i-1][j] + 1,  // deletion
                               d[i][j-1] + 1), // insertion
                          d[i-1][j-1] + ([str1 characterAtIndex: i-1] == [str2 characterAtIndex: j-1] ? 0 : 1) ); // subst
 
    return d[ [str1 length] ][ [str2 length] ];
};

C#

public int LevenshteinDistance(string s, string t, out double porcentaje)
{
   porcentaje = 0;
 
   // d es una tabla con m+1 renglones y n+1 columnas
   int costo = 0;
   int m = s.Length;
   int n = t.Length;
   int[,] d = new int[m + 1, n + 1]; 
 
   // Verifica que exista algo que comparar
   if (n == 0) return m;
   if (m == 0) return n;
 
   // Llena la primera columna y la primera fila.
   for (int i = 0; i <= m; d[i, 0] = i++) ;
   for (int j = 0; j <= n; d[0, j] = j++) ;
 
 
   /// recorre la matriz llenando cada unos de los pesos.
   /// i columnas, j renglones
   for (int i = 1; i <= m; i++)
   {
        // recorre para j
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {       
            /// si son iguales en posiciones equidistantes el peso es 0
            /// de lo contrario el peso suma a uno.
            costo = (s[i - 1] == t[j - 1]) ? 0 : 1;  
            d[i, j] = System.Math.Min(System.Math.Min(d[i - 1, j] + 1,  //Eliminacion
                          d[i, j - 1] + 1),                             //Inserccion 
                          d[i - 1, j - 1] + costo);                     //Sustitucion
         }
    }
 
   /// Calculamos el porcentaje de cambios en la palabra.
    if (s.Length > t.Length)
       porcentaje = ((double)d[m, n] / (double)s.Length);
    else
       porcentaje = ((double)d[m, n] / (double)t.Length); 
    return d[m, n]; 
}

Java

Implementado como una clase con sus métodos estáticos.

public class LevenshteinDistance {
    private static int minimum(int a, int b, int c) {
        if (a<=b && a<=c)
        {
            return a;
        } 
        if (b<=a && b<=c)
        {
            return b;
        }
        return c;
    }
 
    public static int computeLevenshteinDistance(String str1, String str2) {
        return computeLevenshteinDistance(str1.toCharArray(),
                                          str2.toCharArray());
    }
 
    private static int computeLevenshteinDistance(char [] str1, char [] str2) {
        int [][]distance = new int[str1.length+1][str2.length+1];
 
        for(int i=0;i<=str1.length;i++)
        {
                distance[i][0]=i;
        }
        for(int j=0;j<=str2.length;j++)
        {
                distance[0][j]=j;
        }
        for(int i=1;i<=str1.length;i++)
        {
            for(int j=1;j<=str2.length;j++)
            { 
                  distance[i][j]= minimum(distance[i-1][j]+1,
                                        distance[i][j-1]+1,
                                        distance[i-1][j-1]+
                                        ((str1[i-1]==str2[j-1])?0:1));
            }
        }
        return distance[str1.length][str2.length];
    }
}

Perl

sub fastdistance
{
    my $word1 = shift;
    my $word2 = shift;

    return 0 if $word1 eq $word2;
    my @d;

    my $len1 = length $word1;
    my $len2 = length $word2;

    $d[0][0] = 0;
    for (1.. $len1) {
        $d[$_][0] = $_;
        return $_ if $_!=$len1 && substr($word1,$_) eq
            substr($word2,$_);
    }

    for (1.. $len2) {
        $d[0][$_] = $_;
        return $_ if $_!=$len2 && substr($word1,$_) eq
            substr($word2,$_);
    }

    for my $i (1.. $len1) {
        my $w1 = substr($word1,$i-1,1);
        for (1.. $len2) {
            $d[$i][$_] = _min($d[$i-1][$_]+1, 
                              $d[$i][$_-1]+1,
                              $d[$i-1][$_-1]+($w1 eq
                                              substr($word2,$_-1,1) ?
                                              0 : 1));
        }
    }
    return $d[$len1][$len2];
}

sub _min
{
    return $_[0] < $_[1]
        ? $_[0] < $_[2] ? $_[0] : $_[2]
        : $_[1] < $_[2] ? $_[1] : $_[2];
}

Python

def distance(str1, str2):
  d=dict()
  for i in range(len(str1)+1):
     d[i]=dict()
     d[i][0]=i
  for i in range(len(str2)+1):
     d[0][i] = i
  for i in range(1, len(str1)+1):
     for j in range(1, len(str2)+1):
        d[i][j] = min(d[i][j-1]+1, d[i-1][j]+1, d[i-1][j-1]+(not str1[i-1] == str2[j-1]))
  return d[len(str1)][len(str2)]

Ruby

class String
  def levenshtein(other)
    other = other.to_s
    distance = Array.new(self.size + 1, 0)
    (0..self.size).each do |i|
      distance[i] = Array.new(other.size + 1)
      distance[i][0] = i
    end
    (0..other.size).each do |j|
      distance[0][j] = j
    end

    (1..self.size).each do |i|
      (1..other.size).each do |j|
        distance[i][j] = [distance[i - 1][j] + 1,
                          distance[i][j - 1] + 1,
                          distance[i - 1][j - 1] + ((self[i - 1] == other[j - 1]) ? 0 : 1)].min
      end
    end
    distance[self.size][other.size]
  end
end

puts "casa".levenshtein "calle" #=> 3

PHP

<?
   $lev = levenshtein($input, $word);
?>

Delphi

function LevenshteinDistance(Str1, Str2: String): Integer;
var
  d : array of array of Integer;
  Len1, Len2 : Integer;
  i,j,cost:Integer;
begin
  Len1:=Length(Str1);
  Len2:=Length(Str2);
  SetLength(d,Len1+1);
  for i := Low(d) to High(d) do
    SetLength(d[i],Len2+1);
 
  for i := 0 to Len1 do
    d[i,0]:=i;
 
  for j := 0 to Len2 do
    d[0,j]:=j;
 
  for i:= 1 to Len1 do
    for j:= 1 to Len2 do
    begin
      if Str1[i]=Str2[j] then
        cost:=0
      else
        cost:=1;
      d[i,j]:= Min(d[i-1, j] + 1,     // deletion,
                   Min(d[i, j-1] + 1, // insertion
                       d[i-1, j-1] + cost)   // substitution
                            );
    end;
  Result:=d[Len1,Len2];
end;

VB.NET

    Public Function Levenshtein(ByVal s1 As String, ByVal s2 As String) As Integer
        Dim coste As Integer = 0
        Dim n1 As Integer = s1.Length
        Dim n2 As Integer = s2.Length
        Dim m As Integer(,) = New Integer(n1, n2) {}
        For i As Integer = 0 To n1
            m(i, 0) = i
        Next
        For i As Integer = 1 To n2
            m(0, i) = i
        Next
        For i1 As Integer = 1 To n1
            For i2 As Integer = 1 To n2
                coste = Iif((s1(i1 - 1) = s2(i2 - 1)), 0, 1)
                m(i1, i2) = Math.Min(Math.Min(m(i1 - 1, i2) + 1, m(i1, i2 - 1) + 1), m(i1 - 1, i2 - 1) + coste)
            Next
        Next
        Return m(n1, n2)
    End Function

Gambas 2

PUBLIC FUNCTION Levenshtein(s1 AS String, s2 AS String) AS Integer
 
    DIM iCost AS Integer = 0
    DIM iN1 AS Integer = String.Len(s1) 
    DIM iN2 AS Integer = String.Len(s2) 
    DIM ariM AS NEW Integer[iN1 + 1, iN2 + 1]
    DIM i AS Integer
    DIM j AS Integer
    DIM i1 AS Integer
    DIM j2 AS Integer
 
    FOR i = 0 TO iN1 
        ariM[i, 0] = i
    NEXT
    FOR i = 1 TO iN2 
        ariM[0, i] = i
    NEXT
    FOR i1 = 1 TO iN1 
        FOR j2 = 1 TO iN2 
            IF String.Mid(s1, i1, 1) = String.Mid(s2, j2, 1) THEN 
                iCost = 0
            ELSE 
                iCost = 1
            ENDIF 
            ariM[i1, j2] = Min(Min(ariM[i1 - 1, j2] + 1, ariM[i1, j2 - 1] + 1), ariM[i1 - 1, j2 - 1] + iCost)
        NEXT
    NEXT
    RETURN ariM[iN1, iN2]
 
END

Javascript

    function levenshtein(a, b) 
    {
          var i, j, r=[];
 
          r[0] = [];
          r[0][0] = 0;
 
          for(i=1; i<=a.length; i++) {
            r[i] = [];
            r[i][0] = i;
 
            for(j=1; j<=b.length; j++) {
              r[0][j] = j;
              r[i][j] = Math.min(
                          r[i-1][j]+1,
                          r[i][j-1]+1, 
                          r[i-1][j-1] + (a[i-1]!==b[j-1])
                        );
            }
          }    
 
          return r[a.length][b.length];
    }

ActionScript 3.0

public class StringUtils 
{  
    public static function levenshtein(s1:String, s2:String):int
    {           
        if (s1.length == 0 || s2.length == 0)
            return 0;
 
        var m:uint = s1.length + 1;
        var n:uint = s2.length + 1;
        var i:uint, j:uint, cost:uint;
        var d:Vector.<Vector.<int>> = new Vector.<Vector.<int>>();
 
        for (i = 0; i < m; i++)
        {
            d[i] = new Vector.<int>();
            for (j = 0; j < n; j++)
                d[i][j] = 0;
        }
 
        for (i = 0; i < m; d[i][0] = i++) ;
        for (j = 0; j < n; d[0][j] = j++) ;
 
        for (i = 1; i < m; i++)
        {
            for (j = 1; j < n; j++)
            {       
                cost = (s1.charAt(i - 1) == s2.charAt(j - 1)) ? 0 : 1;
                d[i][j] = Math.min(Math.min(d[i - 1][j] + 1,
                d[i][j - 1] + 1),
                d[i - 1][j - 1] + cost);
            }
        }
 
        return d[m-1][n-1];
    }
}

ColdFusion

<cfscript>
function levDistance(s,t) {
        var d = ArrayNew(2);
        var i = 1;
        var j = 1;
        var s_i = "A";
        var t_j = "A";
        var cost = 0;
        
        var n = len(s)+1;
        var m = len(t)+1;
        
        d[n][m]=0;
        
        if (n is 1) {
                return m;
        }
        
        if (m is 1) {
                return n;
        }
        
         for (i = 1; i lte n; i=i+1) {
      d[i][1] = i-1;
    }

    for (j = 1; j lte m; j=j+1) {
      d[1][j] = j-1;
    }
        
        for (i = 2; i lte n; i=i+1) {
      s_i = Mid(s,i-1,1);

          for (j = 2; j lte m; j=j+1) {
        t_j = Mid(t,j-1,1);

                if (s_i is t_j) {
          cost = 0;
        }
        else {
          cost = 1;
        }
                d[i][j] = min(d[i-1][j]+1, d[i][j-1]+1);
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i-1][j-1] + cost);
      }
    }
        
    return d[n][m];
}
</cfscript>

Aplicaciones

• El projecto ASJP usa la distancia de levenshtein total en una lista de palabras en diferentes lenguas del mundo, para medir la "similaridad" o "cercanía" de las mismas, esa distancia calculada puede emplearse para proponer una clasificación filogenética tentativa de las lenguas del mundo.
• La distancia de Damerau-Levenshtein es una generalización de la distancia de Levenshtein usada por los correctores ortográficos y en la detección de fraudes en listas de datos.

Véase también

• Distancia de Damerau-Levenshtein
• Algoritmo Needleman-Wunsch
• Algoritmo Smith-Waterman
• Algoritmo Bitap
• Autómata de Levenshtein
• Espacio métrico
• Agrep
• Ratcliff/Obershelp
• Dynamic time warping
• Distancia de Jaro-Winkler