Discusión:Geometría
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Hola: Soy estudiante de Matemáticas y acabo de leer el artículo. Me parece bastante correcto, y vaya por delante mi agradecimiento al autor. Pero como todo puede ser mejorado, permítaseme dar mi punto de vista.
Me parece que al artículo le falta una visión algo más profunda sobre las distintas geometrías y su clasificación. Da la impresión de que la Geometría Euclidiana establecida por el método axiomático "a la manera de Euclides" es la principal, y es cierto que lo fue hasta el siglo XIX, pero las cosas han cambiado mucho en Geometría, y tal vez sería un poco ingenuo no exponer la Geometría tal y como se estudia actualmente (su fuerte dependencia del Análisis, del Álgebra y de la Topología, y sus fuertes consecuencias en esas ramas). Por otro lado he hechado en falta una referencia al Programa de Erlangen, tan fundamental en el desarrollo de la Geometría Moderna.
Propongo rehacer el artículo de la siguiente manera: tomar todo lo que aparece actualmente y ponerlo en una sección denominada "Geometría Clásica", "Método Axiomático", o algo así, y poner otra sección denominada "Geometría Moderna", o algo así, en la que se pongan más de manifiesto las tendencias actuales del estudio de la Geometría.
Y al hilo de la discusión sobre si la Geometría Proyectiva es o no una geometría euclidea, creo que es necesario una aclaración: en el espacio proyectivo todo par de recta se corta en al menos un punto (el punto del infinito), incluidas las rectas paralelas. Esto es totalmente independiente de la posibilidad o no de construir una paralela a una recta por un punto exterior a la misma. Puede que de ahí venga el error de creer que la Geometría Proyectiva no es euclidea. La Geometría Proyectiva es euclidea en tanto que por un punto exterior a una recta (queda por lo tanto descartado el punto del infinito, que es común a toda recta) puede trazarse en el espacio euclideo una única recta paralela a la dada, que se corta en el punto del infinito con ésta.hola soy estudiante de la nacional y estudio matematicas y me parese que los conseptos noestan muy claros para los niños pequeños y propongo que esos conseptos los escriban tambien niños para mejor compresion. grasias Saludos a todos.
Wewe, a las 13:47 (hora en la España peninsular) del 16 de Agosto de 2005.
La geometría Euclídea no inlcluye puntos en el infinito. Así, dos rectas son paralelas si no tienen puntos en común. adios No se pudo entender (error léxico): Escribe aquí una fórmula jacob 6:00 GMT 29 de Abril 2006]]
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[editar] GENERALIDADES DE LA GEOMETRÍA
En cualquier ciencia, y principalmente en la Geometría, se aplica el método deductivo, que consiste en enlazar conocimientos que se admiten como verdaderos con el fin de obtener nuevas proposiciones como consecuencia lógica de otras anteriores. Sin embargo, no todas las propiedades son consecuencia de otras, pues algunas se aceptan como ciertas por sí mismas, tal es el caso de los axiomas y los postulados.
Por otra parte, están las proposiciones que exponen con claridad y precisión los caracteres de una cosa, y una característica de la Geometría moderna consiste precisamente en evitar la definición de conceptos primarios que tengan poco o ningún sentido. Así, por ejemplo, definiciones tan conocidas de Euclides como: "Punto es lo que no tiene partes", "Línea es una longitud sin anchura", etc., se basan en conceptos (partes, anchura) cuya definición es más compleja que lo que se trata de definir.
Conceptos geométricos
El axioma es cada uno de los principios fundamentales e indemostrables sobre los que se construye una teoría.
Un postulado es un supuesto que se establece para fundar una demostración.
El teorema es una proposición que puede ser demostrada por medio de un conjunto de razonamientos que conducen a la evidencia de la verdad de la proposición.
El enunciado de todo teorema resalta dos partes: la hipótesis, que es lo que se supone, y la tesis, que es lo que se quiere demostrar, por ejemplo: "La suma de los ángulos interiores de un triángulo vale dos rectos", donde vemos la hipótesis: "A, B y C son los ángulos interiores de un triángulo", así como la tesis: "La suma de los ángulos A, B y C vale dos rectos."
En la demostración se utilizan los conocimientos adquiridos hasta aquel momento, enlazados de una manera lógica.
El corolario es una proposición que se deduce de un teorema como consecuencia del mismo. Por ejemplo, del teorema: "La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos", se deduce el siguiente corolario: "La suma de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo vale un recto".
Todo teorema tiene su recíproco cuyas hipótesis y tesis son, respectivamente, la tesis y la hipótesis del otro teorema que, en este caso, se llama teorema directo. Por ejemplo, el recíproco del teorema: "La suma de los ángulos interiores de un triángulo vale dos rectos", dice: "Si la suma de los ángulos interiores de un polígono vale dos rectos, el polígono es un triángulo".
En este teorema recíproco la hipótesis es: "Tenemos un polígono cuyos ángulos interiores suman dos rectos", y la tesis dice: "El polígono es un triángulo". No siempre los teoremas recíprocos son verdaderos, y así, por ejemplo, un teorema dice: "Las diagonales de un cuadrado son iguales" y su recíproco dice: "Si las diagonales de un paralelogramo son iguales, la figura es un cuadrado".
Este recíproco es falso porque la figura puede ser un rectángulo que también tiene sus diagonales iguales.
El lema es una proposición que sirve de base para la demostración de un teorema. Es como un "teorema preliminar" a otro que se considera más importante.
Por ejemplo, para demostrar el volumen de una pirámide se tiene que demostrar antes el lema que dice: "Un prisma triangular se puede descomponer en tres tetraedros equivalentes".
En la actualidad se ha prescindido de la palabra lema en la mayoría de los casos y se le suele llamar teorema o teorema preliminar.
El escolio es una observación acerca de un teorema previamente demostrado. Por ejemplo, después de demostrar el teorema que dice: "En una misma circunferencia o en circunferencias iguales a mayor arco corresponde mayor cuerda" (considerando arcos menores que una semicircunferencia), se podría añadir, como escolio: "Si no se consideran arcos menores que una semicircunferencia, a mayor arco corresponde menor cuerda".
Actualmente la palabra escolio se sustituye por observación.
Un problema es una proposición en la que se pide construir una figura que reúna ciertas condiciones (los problemas gráficos) o bien calcular el valor de alguna magnitud geométrica (los problemas numéricos).
Por ejemplo, en un problema gráfico se pide construir la circunferencia que pasa por tres puntos dados, y en un problema numérico se solicita calcular la altura de un triángulo equilátero cuyo lado mide 6 cm.
LÍNEA
Las líneas son tipos especiales de conjuntos de puntos, y entre las más comunes están:
La línea recta. Una imagen de este conjunto de puntos puede ser un rayo luminoso, el borde de una regla, etc.
Una recta geométrica se extiende sin límite en dos sentidos. No comienza ni termina. Y aquí podemos admitir los siguientes postulados:
Por dos puntos pasa una recta y solo una.
Dos rectas no pueden tener más que un solo punto común.
La recta suele designarse por dos de sus puntos con el símbolo <–> encima. Así, la recta AB se representa AB.
La línea curva. Una imagen de este conjunto de puntos es la circunferencia. Actualmente se considera que las líneas curvas pueden o no tener trazos rectos
Un tipo especial de curva es la línea quebrada formada por trazos rectos. Aunque resulta extraño llamar curva a una línea formada por sus trazos rectos, es recomendable acostumbrarse a esta nueva nomenclatura dada la utilidad que significa en estudios más avanzados.
Otro tipo especial de esta línea es la curva simple cerrada, que se puede trazar de tal manera que empieza y termina en un mismo punto que es el único que se toca dos veces. Este tipo de curva tiene un interior y un exterior y se puede admitir el siguiente postulado:
Al unir un punto interior A con uno exterior B de una curva simple cerrada se corta dicha curva.
Una línea tiene una sola dimensión: longitud.
EL PUNTO
Por otra parte, ya hemos dicho que el punto no se define, pues la idea de punto está sugerida por la huella que deja en el papel un lápiz bien afilado.
Un punto geométrico es imaginado tan pequeño que carece de dimensión.
Por tanto admitimos el siguiente postulado:
"Hay infinitos puntos".
Los puntos suelen designarse por medio de letras mayúsculas y se representan con un trazo, un circulito o una cruz. Así, decimos el punto A; el punto B; etc.
CUERPOS GEOMÉTRICOS
Son cuerpos físicos todas las cosas que nos rodean (libros, lápices, mesas, etc.) y que tienen forma, color, están hechos de una sustancia determinada y ocupan un lugar en el espacio. Siguiendo esquemas ideales de ciertos cuerpos físicos, la Geometría considera solamente su forma y su tamaño, con lo que tenemos los cuerpos geométricos o sólidos como son los prismas, conos, esferas, etc.
Los sólidos tienen tres dimensiones: largo, ancho y alto.
SEMIRECTA Si sobre una recta señalamos un punto A, se le llama semirrecta al conjunto de puntos formado por el punto A (origen) y todos los que le siguen o le preceden. Una semirrecta se representa por el origen y otro punto de la misma con el símbolo - encima.
La semirrecta de origen C y otro punto D se representa: CD.
SUPERFICIES
Las superficies son los límites que separan a los cuerpos del espacio que los rodea. Las superficies tienen dos dimensiones largo y ancho.
SEGMENTO Cuando sobre una recta señalamos dos puntos A y B, se le llama segmento al conjunto de puntos comprendidos entre A y B más estos dos puntos o extremos del segmento. Generalmente al primero se le llama origen y al otro, extremo.
Aquí admitimos el postulado:
La distancia más corta entre dos puntos es el segmento que los une.
Un segmento se designa por las letras de sus extremos y con un trazo encima.
PLANO
En Geometría el plano es una superficie (una pared, un piso, etc.) formada por conjuntos parciales de puntos infinitos.
En los siguientes postulados resaltan dos propiedades características de los planos:
Por tres puntos no alineados pasa un plano y solamente uno.
Si una recta tiene dos puntos comunes con un plano, toda la recta está contenida en el plano.
SEMIPLANO
Toda recta MN de un plano divide a éste en dos regiones llamadas semiplanos. Cada punto del plano pertenece a uno de los semiplanos, excepto los puntos de la recta, que pertenecen a ambos.
Se admite este postulado acerca de la separación del plano: Dos puntos de un mismo semiplano determinan un segmento que no corta a la recta que da origen a los dos semiplanos; y dos puntos de distinto semiplano determinan un segmento que corta a la recta.
INTERSECCIÓN DE PLANOS
En cuanto a la intersección de planos se admite el siguiente postulado: Si los planos tienen un punto común tienen una recta común.
POLIGONALES CÓNCAVAS Y CONVEXAS
A las líneas quebradas se les llama también poligonales y, en este caso, los segmentos que las forman reciben el nombre de lados y a los puntos comunes de los lados se les llama vértices.
Una poligonal es convexa cuando, al prolongar en los dos sentidos cualquiera de sus lados, toda la poligonal queda en un mismo semiplano. Y es cóncava cuando al prolongar en los dos sentidos alguno de sus lados, parte de la poligonal queda en un semiplano y parte en el otro.
MEDIDA DE SEGMENTOS
Un segmento se mide para compararlo con otro elegido como una unidad, para lo cual se usan las unidades de longitud del sistema métrico decimal, del sistema inglés o de cualquier otro.
Los instrumentos más comunes para medir son las reglas graduadas, las cintas, etc., de modo que para medir el segmento AB se hace coincidir una división cualquiera (generalmente el cero) de la regla con uno de los extremos del segmento y se observa la división en mayor coincidencia con el otro extremo. La diferencia entre ambas lecturas nos dará el valor de la longitud del segmento.
También se puede medir utilizando un compás con ambas puntas metálicas, con el que se toma la longitud del segmento y se traslada esta abertura sobre una regla.
OPERACIONES CON SEGMENTOS
Para realizar operaciones con segmentos se puede proceder gráficamente de esta manera:
a) Suma de segmentos: para sumar los segmentos AB, CD, EF, procedemos así:
Sobre una recta indefinida MN y a partir de un punto cualquiera P, se llevan los segmentos a sumar, en un sentido determinado, uno a continuación de otro, haciendo que el extremo de cada sumando coincida con el origen del siguiente. El segmento AF, que tiene por origen el del primero y por extremo el del último, representa la suma.
b) Sustracción de segmentos: Para obtener la diferencia de los segmentos AB – CD se procede así:
Sobre el segmento minuendo AB se lleva el segmento sustraendo CD, de modo que coincidan A y C.
c) Multiplicación de un segmento por un número real.
El producto del segmento AB por un número natural, 4 por ejemplo, se obtiene llevando sobre una recta cualquiera MN y a partir de un punto cualquiera de ella, P, el segmento AB, tantas veces como indica el número, por el cual se va a multiplicar.
d) División de un segmento en un número de partes iguales.
Siendo el segmento AB se quiere dividir en 8 partes iguales.
emO ,, sOii emO piiJa
A partir de uno de los extremos del segmento AB se traza una semirrecta AC, con cualquier inclinación. Sobre AC y a partir de A, se lleva un segmento de cualquier longitud b tantas veces como indica el divisor. El extremo del último segmento b se une con B y se trazan paralelas al segmento.
B8 por los puntos 1, 2, 3, etc., con lo que tendremos:
Observemos que las operaciones anteriores se pueden hacer midiendo los segmentos y operando con las medidas obtenidas.
IGUALDAD Y DESIGUALDAD DE SEGMENTOS
Si al superponer dos segmentos AB y CD se pueden hacer coincidir los dos extremos del primero con los dos del segundo, son segmentos iguales (=)
Obviamente, cuando no se cumple dicha condición se dice que son segmentos desiguales, y de éstos uno es mayor que (>) o menor que (<) el otro.
ERROR DE MEDIDA
En la práctica las medidas generalmente son aproximadas, y a la diferencia entre la verdadera longitud del segmento y el valor obtenido se le llama error de medida, el cual puede darse por exceso (al tomar un valor mayor que el verdadero) o por defecto (al tomar un valor menor que el verdadero). Un error se origina por las imperfecciones de nuestros sentidos, de los instrumentos que empleamos o por otras causas diversas.
GEOMETRÍA:
La Geometría elemental es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades intrínsecas de las figuras, es decir, las que no se alteran con el movimiento.
La Geometría plana estudia las figuras contenidas en un plano (es decir, de dos dimensiones) y la Geometría del espacio estudia los cuerpos geométricos (de tres dimensiones).
Otras especialidades dentro del campo de la Matemática son la Geometría analítica, la Geometría descriptiva y la Geometría proyectiva.
[editar] Aclaraciones varias
Corregí el tema de matemática(s), sobre tal tema referirse a la discución en matemáticas.
El axioma de las paralelas no va, exepto en geometría euclidea, esto es geometría, y todas coinciden acá. Borre ese axioma y todas sus apariciones posteriores, si quieren ponerlo, vallan al articulo Geometría euclidiana.
Los otros metodos de estudio de la geometría no ignoran lo que dice despues en el articulo, no tiene por qué ir en otra parte que junto con las otras geometrías.
Por que el axioma de arquimedes(?) es de continuidad, si lo corregí mal pido disculpas, pero, parece estar mal ubicado.
Copio de una traduccion del "uber der grundlagen der geometrie" de Hilbert Axioma de la medida o de arquimedes: Siendo AB y CD segmentos cualquiera, existe siempre sobre la recta definida por AB una serie de puntos {A}i, de modo que los segmentos {A}i,{A}i+1 son congruentes con el CD y el punto B queda entre ellos. El propio Hilbert lo situa entre los axiomas de continuidad.
Ni absoluta ni neutral tienen articulo, por lo tanto me quedo con absoluta que tiene un articulo malisimo en la wiki ingles.
Espero respuestas.
Muy lindas modificaciones, gracias a todos.
--El_Hoy 12:18 11 feb 2006 (CET)
[editar] Sobre las faltas ortográficas
Es excelente que la gente se anime a opinar, más escribir con faltas de ortografía da desconfianza. A ver si se preocupan un mucho más por eso...--kid 14:58 11 feb 2006 (CET)
No opino igual. --El_Hoy 06:55 15 feb 2006 (CET)
- Bueno también preocupate de las tuyas, porque ese "más" va sin acento. El de "más escribir con faltas...". Tenemos que ser cautos con la ortografía en los arículos, no es necesario que lo seamos en las páginas de discusión. --Erik Mora 15:16 1 feb 2007 (CET)
[editar] Muchas geometrías
Me parece re-bien, yo estudio profesorado en matemáticas en la UNL y como es costumbre en la formación de profesores, me enseñan solo geometría sintetica, así que me encantaría que agregen las otras geometrías al articulo para ver de que otras formas puede verse. Por mi parte no puedo ayudarlos ya que yo no se.
--El_Hoy 20:56 29 jul 2006 (CEST) MI PARESE MUY INTERESANTE TODO LO QU SE LLEVA A CABO CON ESTA PAJINA
[editar] Según Isaac Newton
Otra importante definición de Geometría, es la que nos ofrece Isaac Newton en el prefacio de la pimera edición de su libro Principios matemáticos de la Filosofía natural. En el que nos dice textualmente "La Geometría está basada en la práctica Mecánica, no es sino aquella parte de la Mecánica Universal que propone y demuestra con exactitud el arte de medir."— El comentario anterior es obra de 62.151.104.40 (disc. · contr.), quien olvidó u omitió firmarlo. Tano ¿comentarios? 21:55 29 nov 2006 (CET)
yo creo que falta algunos ejemplos porque las matematicas se aprenden haciendo problemas no leyendo
- Es una opinión. Yo no opino así. Además, hay que tener en cuenta que esto es un artículo enciclopédico, no un libro de texto. Un saludo.
[editar] Eliminado párrafo un poco confuso.
He eliminado un párrafo un poco confuso que había en la secciuón de los axiomas de existencia e incidencia. Es el que decía:
- "Para ver estos conceptos más gráficamente se puede observar que si se toma un palo "recto" en un solo punto, el palo se balancea, mientras que si se toman dos, éste queda fijo. Igualmente, se puede ver al agarrar una hoja de cartón desde uno o dos puntos (entonces se balancea como la recta) y que se fija si la agarramos en tres puntos."
Mi experiencia como profesor de Matemática me advierte sobre argumentos de este tipo. Hay gente que está empezando y que cuando se le dan este tipo de argumentos responde con cuestiones sobre la gravedad, mezclando Geometría con Física. El resultado es que un argumento que pretende aclarar algo ya de por sí evidente, lo que consigue es liar a la gente haciéndoles pensar que en el argumento hay algo más que Geometría. Si en clases, con el alumno delante y la posibilidad de discutir el argumento, ya suscita discusiones, más poco afortunado lo considero meterlo en una enciclopedia.
--Wewe 00:39 11 dic 2006 (CET)
- Gracias, coincido --El_Hoy 05:49 13 abr 2007 (CEST)
[editar] Geometría Fractal
Sres.
Les propongo incluir en Enlaces Externos el sitio: http://www.geometriafractal.com
Saludos
[editar] geometria
hola soy estudiante de matematicas y acabo de leer el articulo.Me parece bastante incorrecto, y vaya por delante mi desagradecimiento al autor. Pero como todo puede ser mejorado, permítaseme dar mi punto de vista.pero antes decirles que el articulo es estupido.
Me parece que al artículo le falta una visión algo más profunda sobre las distintas geometrías y su clasificación. Da la impresión de que la Geometría Euclidiana establecida por el método axiomático "a la manera de Euclides" es la principal, y es cierto que lo fue hasta el siglo XIX, pero las cosas han cambiado mucho en Geometría, y tal vez sería un poco ingenuo no exponer la Geometría tal y como se estudia actualmente (su fuerte dependencia del Análisis, del Álgebra y de la Topología, y sus fuertes consecuencias en esas ramas). Por otro lado he hechado en falta una referencia al Programa de Erlangen, tan fundamental en el desarrollo de la Geometría Moderna.
Propongo rehacer el artículo de la siguiente manera: tomar todo lo que aparece actualmente y ponerlo en una sección denominada "Geometría Clásica", "Método Axiomático", o algo así, y poner otra sección denominada "Geometría Moderna", o algo así, en la que se pongan más de manifiesto las tendencias actuales del estudio de la Geometría.
Y al hilo de la discusión sobre si la Geometría Proyectiva es o no una geometría euclidea, creo que es necesario una aclaración: en el espacio proyectivo todo par de recta se corta en al menos un punto (el punto del infinito), incluidas las rectas paralelas. Esto es totalmente independiente de la posibilidad o no de construir una paralela a una recta por un punto exterior a la misma. Puede que de ahí venga el error de creer que la Geometría Proyectiva no es euclidea. La Geometría Proyectiva es euclidea en tanto que por un punto exterior a una recta (queda por lo tanto descartado el punto del infinito, que es común a toda recta) puede trazarse en el espacio euclideo una única recta paralela a la dada, que se corta en el punto del infinito con ésta.hola soy estudiante de la nacional y estudio matematicas y me parese que los conseptos noestan muy claros para los niños pequeños y propongo que esos conseptos los escriban tambien niños para mejor compresion. grasias Saludos a todos.
