Dilema del viajero

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En la teoría de juegos , el dilema del viajero es un tipo de juego de suma cero en el que dos jugadores intentan maximizar su propio pago, sin ninguna preocupación por la rentabilidad del otro jugador.

El juego fue formulado en 1994 por Kaushik Basu y es como sigue:[1] [2]

Una compañía aérea pierde dos maletas pertenecientes a dos viajeros diferentes. Ambas maletas resultan ser idénticas y contienen artículos idénticos. Un gerente de la línea aérea encargada de resolver las reclamaciones de los viajeros explica que la compañía aérea es responsable por un máximo de $ 100 por maleta (él es incapaz de averiguar directamente el precio de los artículos), y con el fin de determinar un valor honesto de tasación de la mercancía, el gerente de reclamaciones separa a los viajeros para que no puedan acordar nada, y les pide que escriban el valor de su maleta mayor a 2 dólares y menor de $ 100. También les dice que si ambos escriben el mismo número, él va a tratar ese número como el valor monetario real de las maletas y reembolsará a los viajeros dicha cantidad. Sin embargo, si uno escribe un número más pequeño que el otro, este número más pequeño se tomará como el valor verdadero, y cada uno de los viajeros recibirá esa cantidad junto con un bonus/cuota de $2, el viajero que escribió el valor más bajo recibirá $2 y la persona que escribió la cantidad más alta una deducción de $ 2 . El reto es: ¿qué estrategia debe seguir cada uno de los viajeros para decidir el valor que debe escribir?

Uno podría esperar que la elección óptima de un viajero sea escribir $ 100, es decir, el viajero valora la maleta al precio máximo permitido por gerente de la aerolínea. Sorprendentemente, y, para muchos, contra-intuitivamente, la elección óptima del viajero (en términos de un equilibrio de Nash) es, de hecho, $ 2, es decir, el viajero valora la maleta con el precio mínimo permitido del gerente de la aerolínea.

Para comprender este resultado paradójico, tenga en cuenta el siguiente razonamiento.

  • El viajero 1, después de haber perdido sus antigüedades, se le pide su valor. El primer pensamiento de este viajero es citar $100, el valor máximo permitido.
  • Pensándolo bien, sin embargo, se da cuenta de que su compañero de que el viajero 2, también podría escribir $ 100. Y así, cambia de opinión el viajeo 1 y decide cotizar $ 99, la cual, si el viajero 2 escribe $ 100, le tendrán que pagar $ 101.

Pero el viajero 2, estando en una posición idéntica a viajero 1, también podría pensar escribir $ 99. Y así, de nueva cuenta el viajero 1 cambia de opinión y decide cotizar $ 98, cantidad con la cual, si el viajero 2 cita $ 99, recibirá $ 100. Esto es mayor que los $ 99 ambos recibirían si tanto el viajero 1 como el 2 hubieran escrito $ 99.

  • Este ciclo de pensamiento continúa, hasta que Alice decide finalmente por citar sólo 2 dólares, el precio mínimo permisible.

La matriz de pagos se muestra a continuación (si sólo entradas enteras se tienen en cuenta):

Matriz de pagos
100 99 98 97 3 2
100 100, 100 97, 101 96, 100 95, 99 1, 5 0, 4
99 101, 97 99, 99 96, 100 95, 99 1, 5 0, 4
98 100, 96 100, 96 98, 98 95, 99 1, 5 0, 4
97 99, 95 99, 95 99, 95 97, 97 1, 5 0, 4
3 5, 1 5, 1 5, 1 5, 1 3, 3 0, 4
2 4, 0 4, 0 4, 0 4, 0 4, 0 2, 2

Denotando por S = \{2,...,100\} el conjunto de estrategias disponibles para ambos jugadores y por F: S \times S \rightarrow \mathbb{R} la función de pagos de uno de ellos podemos escribir

F(x,y) = \min(x,y) + 2\cdot\sgn(y-x)

(Tenga en cuenta que el otro jugador recibe F(y,x) ya que el juego es simétrico).

Referencias[editar]

  1. Kaushik Basu, "The Traveler's Dilemma: Paradoxes of Rationality in Game Theory"; American Economic Review, Vol. 84, No. 2, pp. 391–395; May 1994.
  2. Kaushik Basu,"The Traveler's Dilemma"; Scientific American Magazine, June 2007