Diffie-Hellman

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

El protocolo criptográfico Diffie-Hellman,[1] debido a Whitfield Diffie y Martin Hellman, (Diffie–Hellman Problem->DHP) es un protocolo de establecimiento de claves entre partes que no han tenido contacto previo, utilizando un canal inseguro, y de manera anónima (no autentificada).

Se emplea generalmente como medio para acordar claves simétricas que serán empleadas para el cifrado de una sesión (establecer clave de sesión). Siendo no autenticado, sin embargo, provee las bases para varios protocolos autenticados.

Su seguridad radica en la extrema dificultad (conjeturada, no demostrada) de calcular logaritmos discretos en un cuerpo finito.

Versión básica[editar]

El sistema se basa en la idea de que dos interlocutores pueden generar conjuntamente una clave compartida sin que un intruso que esté escuchando las comunicaciones pueda llegar a obtenerla.

Para ello cada interlocutor elige un número público y un número secreto. Usando una fórmula matemática, que incluye la exponenciación, cada interlocutor hace una serie de operaciones con los dos números públicos y el secreto. A continuación los interlocutores se intercambian los resultados de forma pública. En teoría revertir esta función es tan dificil como calcular un logaritmo discreto (Un millón de millones de cuadrillones más costosa que la exponenciación usada para transformar los números). Por eso se dice que este número es el resultado de aplicar una función unidireccional al número secreto.

A continuación ambos interlocutores utilizan por separado una fórmula matemática que combina los dos números transformados con su número secreto y al final los dos llegan al mismo número resultado que será la clave compartida.

Descripción detallada[editar]

Diffie-Hellman.

Para dos partes Alice y Bob que intentan establecer una clave secreta y un adversario Mallory, la versión básica es como sigue:

  • Se establecen un primo p y un generador g \in \mathbf{Z}_{p}^{*} ([2] ). Estos son públicos, conocidos no sólo por las partes Alice y Bob sino también por el adversario Mallory .
  • Alice escoge a \in \mathbf{Z}_{p-1} al azar, calcula A = g^{a} \;\bmod\; p, y envía A a Bob
  • Bob escoge b \in \mathbf{Z}_{p-1} al azar, calcula B = g^{b} \;\bmod\; p, y envía B a Alice

Nótese que tanto A como B pueden calcular el valor K=g^{a \cdot b}  \;\bmod\; p. En efecto, lo podemos demostrar usando las propiedades del grupo \mathbf{Z}_{p}^{*}:

Para Alice:  B^{a} \;\;\bmod\;\; p = (g^b \;\bmod\; p )^a \;\bmod\; p = ( \overbrace{(g^b \;\bmod\; p ) (g^b \;\bmod\; p ) \cdots (g^b \;\bmod\; p ) }^a ) \;\bmod\; p = g^{b \cdot a} \;\bmod\; p= g^{a \cdot b} \;\bmod\; p = K
Para Bob: A^{b} \;\bmod\; p = (g^a \;\bmod\; p )^b \;\bmod\; p = ( \overbrace{(g^a \;\bmod\; p ) (g^a \;\bmod\; p ) \cdots (g^a \;\bmod\; p ) }^b ) \;\bmod\; p = g^{a \cdot b} \;\bmod\; p = K

Como ambas partes pueden calcular K entonces la podemos usar como clave compartida.

Ataques[editar]

Ataques pasivos[editar]

Un adversario Mallory que poseyera p, g, A y B, podría calcular el secreto compartido si tuviera también uno de los valores privados (a o b). Obtener a o b a patir de A o B invirtiendo la función ( a=\operatorname{log\;disc}_p(A) y b=\operatorname{log\;disc}_p(B) ) es el problema del logaritmo discreto en \mathbf{Z}_{p}^{*}, un problema que se cree intratable computacionalmente siempre que p sea un número primo grande de 200 o más dígitos y que no cumplan ciertas características debilitantes.[3]

Ataques activos[editar]

El protocolo es sensible a ataques activos del tipo Man-in-the-middle. Si la comunicación es interceptada por un tercero, éste se puede hacer pasar por el emisor cara al destinatario y viceversa, ya que no se dispone de ningún mecanismo para validar la identidad de los participantes en la comunicación. Así, el "hombre en el medio" podría acordar una clave con cada participante y retransmitir los datos entre ellos, escuchando la conversación en ambos sentidos. Una vez establecida la comunicación simétrica el atacante tiene que seguir en medio interceptado y modificando el tráfico para que no se den cuenta. Observar que para que el ataque sea operativo el atacante tiene que conocer el método de cifrado simétrico que será utilizado. Basarse en la ocultación de algoritmo simétrico de cifrado no cumple con los principios de Kerckhoffs (la efectividad del sistema no debe depender de que su diseño permanezca en secreto).

Ataque man-in-the-middle en Diffie-Hellman.

Para evitar este tipo de ataque se suele usar una o más de las siguientes técnicas:

  • Control de tiempos
  • Autenticación previa de las partes. Por ejemplo usar en protocolo de capa subyacente autenticación. Podríamos primero establecer una conexión TLS y sobre esa capa aplicar el algoritmo de Diffie-Hellman
  • Autenticación del contenido. Por ejemplo podríamos usar MAC sobre el contenido de los mensajes

Ejemplo[editar]

Alice
Sec Calc
p, g
a
ga mod p
(gb mod p)a mod p
\rightarrow
\leftarrow
=
Bob
Calc Sec
p, g
b
gb mod p
(ga mod p)b mod p
  1. Alice y Bob acuerdan usar el número primo p=23 y la base g=5.
  2. Alice elige un número secreto a=6, luego envía a Bob (ga mod p)
    • 56 mod 23 = 8.
  3. Bob elige un número secreto b=15, luego envía a Alice (gb mod p)
    • 515 mod 23 = 19.
  4. Alice calcula (gb mod p)a mod p
    • 196 mod 23 = 2.
  5. Bob calcula (ga mod p)b mod p
    • 815 mod 23 = 2.

Ejemplo con implementación de cifrado[editar]

La necesidad para este ejemplo es: Bob necesita enviarle un texto cifrado a Alice pero sin compartir la clave de cifrado. ¿Como lo hace?

  1. Alice elige un número secreto a=6, el número primo p=23 y la base g=5. Luego envía a Bob la llave publica de Alice (ga mod p), p y g:
    • 56 mod 23 = 8.
    • 23
    • 5
  2. Bob elige un número secreto b=15, luego Bob calcula la llave de cifrado común (ga mod p)b mod p
    • 815 mod 23 = 2.
  3. Bob cifra, con un cifrador simetrico como AES, el texto claro usando la llave de cifrado generada.
  4. TextoCifrado = CifradorSimetrico ( TextoClaro, 2 )
  5. Bob envía a Alice el texto cifrado y la llave pública de Bob (gb mod p)
    • 515 mod 23 = 19.
    • TextoCifrado
  6. Alice calcula (gb mod p)a mod p
    • 196 mod 23 = 2.
  7. Alice usa esa clave de cifrado generada para descifrar los datos enviados por Bob
  8. TextoClaro = DescifradorSimetrico ( TextoCifrado, 2 )

Valores mucho más grandes de a,b y p se necesitarían para hacer este ejemplo seguro. Dado que es muy sencillo probar todos los valores posibles de gab mod 23 (habrá, como máximo, 22 valores, inclusive si a y b son números grandes).

Obviamente la necesidad de Alice enviarle a Bob la información cifrada también la cubre la implementación.

Generalizaciones[editar]

Aumentando el número de partes[editar]

La idea del algoritmo podemos generalizarla a la negociación de claves entre más de dos entidades.Veamos un ejemplo para tres entidades y a partir de ahí podemos aumentar el número de partes de forma fácil:

  1. Las partes (Alice, Bob y Carol) se ponen de acuerdo en los parámetros del algoritmo p and g.
  2. Las partes generan sus propias claves privadas llamadas a, b, yc respectivamente.
  3. Alice calcula g^a  \;\bmod\; p y lo envía a Bob.
  4. Bob calcula (g^a)^b \;\bmod\; p= g^{ab} \;\bmod\; p y lo envía a Carol.
  5. Carol calcula (g^{ab})^c \;\bmod\; p = g^{abc} \;\bmod\; p y la usa como su clave secreta.
  6. Bob calcula g^b \;\bmod\; p y lo envía a Carol.
  7. Carol calcula (g^b)^c \;\bmod\; p= g^{bc} \;\bmod\; p y lo envía a Alice.
  8. Alice calcula (g^{bc})^a \;\bmod\; p= g^{bca} \;\bmod\; p= g^{abc} \;\bmod\; p y lo usa como su clave secreta.
  9. Carol calcula g^c \;\bmod\; p y lo envía a Alice.
  10. Alice calcula (g^c)^a \;\bmod\; p= g^{ca} \;\bmod\; p y lo envía a Bob.
  11. Bob calcula (g^{ca})^b \;\bmod\; p= g^{cab} \;\bmod\; p= g^{abc} \;\bmod\; p y lo usa como su clave secreta.

Cambiando de grupo[editar]

Podemos generalizar el protocolo y sus derivados si en lugar de basarnos en el grupo \mathbf{Z}_{p}^{*} nos basamos en otros grupos que cumplan las condiciones necesarias para poder aplicar el algoritmo (GDHP<-Generalized Diffie-Hellman Problem)

Formalización[editar]

  1. Los usuarios A y B seleccionan públicamente un grupo multiplicativo finito G de orden n y generador g \in G cuya operación multiplicación es una operación de una vía (no tiene inversa o difícilmente invertible)
  2. El usuario A genera un número aleatorio a,1 \le a \le n-1, calcula g^a \in G y transmite este elemento a B, manteniendo secreto a
  3. El usuario B genera un número aleatorio b,1 \le b \le n-1, calcula g^b \in G y transmite este elemento a A, manteniendo secreto b
  4. El usuario A recibe g^b y calcula (g^b)^a \in G
  5. El usuario B recibe g^a y calcula (g^a)^b \in G
  6. A y B poseen un elemento común secreto del grupo g^{a \cdot b}

Ejemplos[editar]

Ejemplos de grupos que podríamos usar: El grupo multiplicativo análogo de los campos de Galois \mathbb{F}_{2^{n}}, el grupo de puntos definidos por una curva elíptica sobre un cuerpo finito.

Usos prácticos del protocolo[editar]

  • La red para anonimato Tor usa el protocolo Diffie Hellman, sobre una conexión TLS de una capa inferior previamente establecida, para procurarse claves de sesión entre el cliente y los nodos de enrutamiento de la red. Esas claves son usadas para cifrar las capas de cebolla de los paquetes que transitan por la red.
  • El protocolo Off-the-record messaging para comunicación de mensajería instantánea se apoya[4] en el protocolo Diffie-Hellman para ir cambiando de clave de cifrado según se van intercambiando los mensajes.

Referencias[editar]

  1. Diffie, W. y M.E.Hellman. "New directions in cryptography", IEEE Transactions on Information Theory 22 (1976), pp. 644-654.
  2. Aquí \mathbf{Z}_{p}^{*} es el conjunto de los enteros menores que p que son primos relativos de p, que es un grupo bajo la multiplicación módulo p.
  3. Gordon, D. M. Designing and Detecting Trapdoors for Discrete Log. Cryptosystems. Advances in Cryptology-CRYPTO92, Berlin:Springer Verlag pp 66-75
  4. N. Borisov,"Off-the-Record Communication or, Why Not To Use PGP"

Bibliografía adicional[editar]

  • Menezes, A.J., P.C. van Oorschot y S.A. Vanstone. Handbook of Applied Cryptography. Boca Raton, Fl.: CRC Press, 1997.