Diferencial (matemática)

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artículo habla sobre la definición del diferencial dentro del campo de la geometría diferencial, para otros usos dentro de la matemática vea diferencial (cálculo, desambiguación), para usos más generales vea diferencial (desambiguación)

Diferencial.png

Herramienta matemática que nos permite trabajar sobre espacios tangentes de diferentes variedades diferenciables aprovechado las buenas propiedades de unos bien conocidos sobre otros que casi no conocemos.

Eslabón necesario para construir la teoría de geometría diferencial y generalizar su estudio.

Definición de diferencial[editar]

Sean M_{}^{},N variedades diferenciables,  F: M \longrightarrow{} N una aplicación diferenciable y  p \in M , llamaremos diferencial de F_{}^{} a

\begin{matrix} {\forall d_p F:} & {\mathcal{T}_p M} & \longrightarrow{} & {\mathcal{T}_{F(p)} N} \\ & {\delta} & \mapsto & \begin{matrix} d_p F(\delta): & \mathcal{F}(M)   & \longrightarrow{} & \mathbb{R} \\ & g & \mapsto & d_p F(\delta)(g):=\delta(g \circ F). \end{matrix} \end{matrix}.

Observaciones

Queda claro que  \delta_{}^{} es  \delta_p^{} , ya que p_{}^{} es redundante pues hablamos de elementos de  \mathcal{T}_p M y, es decir, derivaciones a M_{}^{} precisamente en p_{}^{} .

Veamos que está bien definida, es decir, que  d_p F(\delta) \in  \mathcal{T}_{F(p)} N como se ha requerido:

 \forall f,g \in \mathcal{F}(N) , \forall \lambda \in \mathbb{R},
  •  d_p^{} F( \delta) (f+g)=\delta ( (f+g) \circ F) = \delta (f \circ F+ g \circ F)= \delta(f \circ F)+ \delta(g \circ F) = d_p F(\delta)(f)+d_p F(\delta)(g),
  •  d_p^{} F( \delta) (\lambda f)= \delta ((\lambda f ) \circ F)= \delta (\lambda (f \circ F)) = \lambda \delta ( f \circ F ) =\lambda d_p F(\delta)(f),
 d_p^{} F( \delta)(f  \cdot g)= \delta ( (f \cdot g) \circ F) =\delta ( (f \circ F) \cdot (g \circ F)) = \delta (f \circ F) (g \circ F) (p) + (f \circ F)(p) \delta ( g \circ F )= d_p F(\delta) (f) g_{|F(p)} + f_{|F(p)} d_p F(\delta)(g),
y, por tanto, es una derivación; en resumen, el diferencial de una derivación es una derivación.

Veamos finalmente que  d_p^{} F es \mathbb{R}-lineal:

 \forall \delta_1,\delta_2 \in \mathcal{T}_p M, \forall f \in \mathcal{F}(N) \; y \; \forall \lambda \in \mathbb{R}, tenemos
  •  d_p^{} F( \delta_1 + \delta_2)(f)= ( \delta_1 + \delta_2 ) ( f \circ F) = \delta_1 (f \circ F) + \delta_2 (f \circ F) =d_p F (\delta_1)(f)+d_p F (\delta_2)(f),
  •  d_p^{} F(\lambda \delta_1)(f)=(\lambda \delta_1)(f \circ F)= \lambda \delta_1(f \circ F) = \lambda d_p F(\delta_1)(f),
y por tanto, al ser lineal y bien definida, hereda correctamente las propiedades de suma vectorial y producto por escalar para que los elemento obtenidos en  \mathcal{T}_{F(p)} N , a partir de los elementos de \mathcal{T}_p M, puedan formar un subespacio vectorial, seria deseable conseguir una base para generar totalmente  \mathcal{T}_{F(p)} N .

Así pues, tenemos que  d_p^{} F , como aplicación lineal entre espacios vectoriales, queda totalmente determinada por una matriz.

Propiedad[editar]

Sean  M , \; N , \; P_{}^{} variedades diferenciables,  F: M \rightarrow N ,  G: N \rightarrow P y  p \in M , entonces tenemos que:

 d_p (G \circ F) = d_{F(p)} G \circ d_p F .

Demostración

ComposiciónDiferencial.png
\forall h \in \mathcal{F}(P),  \forall \delta \in \mathcal{T}_p M , sucesivamente por definición:
 d_p (G \circ F) ( \delta )( h ) = \delta (h \circ G \circ F ) = d_p F ( \delta )( h \circ G ) = d_{F(p)} G (d_p F( \delta ) )( h ) = d_{F(p)} G \circ d_p F ( \delta )(h).

Propiedad[editar]

Sea  M_{}^{} una variedad diferenciable,  Id_M:M \rightarrow M y p \in M, entonces tenemos que:

 d_p ( Id_M) = Id_{ \mathcal{T}_p M } .

Demostración

\forall h \in \mathcal{F}(P), \forall \delta \in \mathcal{T}_p M ,
 d_p (Id_M) ( \delta )(h)= \delta (h \circ Id_M) = \delta (h) .

Propiedad[editar]

Sea  M, \; N_{}^{} variedades diferenciables y  F: M \rightarrow N un difeomorfismo, entonces tenemos que:

\forall p \in M, \; d_p F es un isomorfismo de  \mathbb{R}-espacios vectoriales.

Demostración

Si F_{}^{} es un difeomorfismo entonces tenemos que  \exists G: N \rightarrow M diferenciable: F \circ G = Id_N y G \circ F = Id_M.
Bastaría considerar los diferenciales  d_q G_{}^{} y d_p F^{}, \; q=F(p), usando sucesivamente las propiedades anteriores tenemos:
d_q G \circ d_p F = d_p ( G \circ F ) = d_p ( Id_M^{}) = Id_{ \mathcal{T}_p M },
d_p F \circ d_q G = d_q ( F \circ G ) = d_q ( Id_N^{}) = Id_{ \mathcal{T}_q N }.
Por tanto hemos visto que  d_p F_{}^{} es un isomorfismo de  \mathbb{R}-espacios vectoriales.