Desigualdad de Márkov

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En teoría de la probabilidad, la desigualdad de Márkov proporciona una cota superior para la probabilidad de que una función no negativa de una variable aleatoria sea mayor o igual que una constante positiva. Su nombre le viene del matemático ruso Andréi Márkov.

La desigualdad de Márkov relaciona las probabilidades con la esperanza matemática y proporciona cotas útiles -aunque habitualmente poco ajustadas- para la función de distribución de una variable aleatoria.


Teorema[editar]

La desigualdad de Márkov afirma que si X es una variable aleatoria cualquiera y a > 0, entonces

\textrm{Pr}(|X| \geq a) \leq \frac{\textrm{E}(|X|)}{a}.

Prueba[editar]

Para cualquier suceso A, sea IA la variable aleatoria indicatriz de A, esto es, IA = 1 si ocurre A y es 0 en el caso contrario. Entonces

aI_{(|X| \geq a)} \leq |X|.\,

Por lo tanto

\operatorname{E}(aI_{(|X| \geq a)}) \leq \operatorname{E}(|X|).\,

Ahora, nótese que el lado izquierdo de esta desigualdad coincide con

a\operatorname{E}(I_{(|X| \geq a)})=a\Pr(|X| \geq a).\,

Por lo tanto tenemos

a\Pr(|X| \geq a) \leq \operatorname{E}(|X|)\,

y como a > 0, se pueden dividir ambos lados entre a.

Prueba alternativa[editar]

Una prueba más formal, relacionada con la teoría de la medida, es la siguiente:

\Pr(|X| \geq a) = \int_a^\infty {f(x)dx} \leq \int_a^\infty {\frac{|x|}{a}f(x)dx} \leq \frac{1}{a} \int_{-\infty}^{\infty}{|x|f(x)dx} = \frac{\operatorname{E}(|X|)}{a}

En la introducción de  \frac{|x|}{a} , nótese que ya que estamos considerando la variable aleatoria sólo en sus valores iguales o mayores a  a ,  |X| \geq a y, por tanto,  \frac{|X|}{a} \geq 1 , con lo que al multiplicar  f(x)dx por algo mayor a uno será igual o mayor. La segunda desigualdad viene de añadir la suma  \int_{-\infty}^a {|x|f(x)dx} , que siempre será positiva ya que se integra algo positivo como es el valor absoluto (por : f(x) que es positiva).