Desigualdad de Hardy

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La desigualdad de Hardy es una desigualdad matemática llamada así debido a G.H. Hardy. Esta desigualdad afirma que si a_1, a_2, a_3, \dots es una sucesión de números reales no negativos que no es idénticamente nula, entonces para cualquier número real p > 1 se tiene

\sum_{n=1}^\infty \left (\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\right )^p<\left (\frac{p}{p-1}\right )^p\sum_{n=1}^\infty a_n^p.

Una versión integral de la desigualdad de Hardy afirma que que si f es una función integrable a valores no-negativos, entonces

\int_0^\infty \left (\frac{1}{x}\int_0^x f(t)\, dt\right)^p\, dx\le\left (\frac{p}{p-1}\right )^p\int_0^\infty f(x)^p\, dx

con igualdad si y solo si f(x) = 0 casi en todas partes.

Historia[editar]

La desigualdad de Hardy fue publicada y demostrada por primera vez (al menos en su versión discreta e involucrando una constante no-optimal) en 1920 en una nota de Hardy.[1]

Referencias[editar]

  1. Hardy, G. H. (1920). «Note on a theorem of Hilbert». Mathematische Zeitschrift (3–4):  pp. 314–317. doi:10.1007/BF01199965.