Desigualdad de Chebyshov

En probabilidad, la desigualdad de Chebyshev (habitualmente también escrito como "Tchebycheff") es un resultado que ofrece una cota inferior a la probabilidad de que el valor de una variable aleatoria con varianza finita esté a una cierta distancia de su esperanza matemática. La desigualdad recibe su nombre del matemático ruso Pafnuti Chebyshev.

Formulación

Sea $X$ una variable aleatoria no negativa y una función $f:\mathbb{R}_{+}\longrightarrow\mathbb{R}_{+}$ creciente tal que $E\left[f\left(X\right)\right]<+\infty$. Entonces $\forall a \in \mathbb{R}$ se da la desigualdad siguiente:

$f\left(a\right)\cdot P\left(X\geq a\right)\leq E\left[f\left(X\right)\right]$

Casos particulares de la desigualdad

Algunas formulaciones menos generales que se desprenden de la primera son las siguientes:

• Sea $X$ variable aleatoria con momento de orden $k$ finito, entonces

$P\left(X\geq a\right)\leq \frac{E\left[\left|X\right|^k\right]}{a^k}$

siendo $a>0$ y $f\left(X\right)=\left|X\right|^k$ .

• Sea $X$ con momento centrado de orden $2$ finito, entonces

$P\left(\left|X-E\left(X\right)\right|\geq a\right)\leq \frac{var\left(X\right)}{a^2}$

siendo $Y=\left|X-E\left(X\right)\right|$, $f\left(Y\right)=Y^2$, y $E\left(Y^2\right)=E\left(\left|X-E\left(X\right)\right|^2\right)=var(X)$ .

• Sea $X$ variable aleatoria de media $\mu$ y varianza finita $\sigma^2$, entonces, para todo número real $a>0$,

$P(\left|X-\mu\right|>a\sigma)\leq\frac{1}{a^2}.$

Sólo en caso de que $a>1$ la desigualdad proporcionan una cota no trivial.

Ejemplos

Para ilustrar este resultado, supongamos que los artículos de Wikipedia tienen una extensión media de 1000 caracteres y una desviación típica de 200 caracteres. De la desigualdad de Chebyshov, usando k = 2, se deduce que al menos el 75% de los artículos tendrán una extensión comprendida entre 600 y 1400 caracteres.

Otra consecuencia del teorema es que para cada distribución de media μ y desviación típica finita σ, al menos la mitad de sus valores se concentrarán en el intervalo (μ-√2 σ, μ+√2 σ).

Demostración

$f\left(a\right)\cdot 1_{\left\lbrace X\geq a\right\rbrace} \leq f\left(X\right)$

$f\left(a\right)\cdot 1_{\left\lbrace X\geq a\right\rbrace} = \left\lbrace \begin{array}{cl} f\left(a\right) & si\,\, X \geq a \\ 0 & si\,\, X < a \end{array} \right.$

Fijémonos en que $E\left(f\left(a\right)\cdot 1_{\left\lbrace X\geq a\right\rbrace}\right) = f\left(a\right) \cdot P\left(X\geq a\right)$. Si ahora aplicamos la función esperanza a los dos lados de la primera desigualdad que hemos establecido habremos demostrado el resultado.

Demostración del tercer caso particular

Para demostrar la desigualdad se parte de la variable aleatoria auxiliar $Y$ definida así:

$Y = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mathrm{si\ } |X - \mu| \leq a\sigma \\ 1 & \mathrm{si\ } |X - \mu| > a\sigma \\ \end{array} \right.$

Entonces, trivialmente,

$a \sigma Y\leq\left|X-\mu\right|$

y por lo tanto,

$a^2\sigma^2 Y^2\leq\left(X-\mu\right)^2.$

Tomando esperanzas en ambos miembros se obtiene

$a^2\sigma^2 E\left[Y^2\right]\leq E[\left(X-\mu\right)^2]=\sigma^2,$

por lo que

$E\left[Y^2\right]\leq\frac{1}{a^2}.$

Pero, a su vez, dado que $Y$ sólo puede ser 0 o 1,

$E\left[Y^2\right]= P(Y=1) = P(\left|X-\mu\right|>a\sigma),$

lo que prueba el resultado.

Véase también

• Desigualdad de Márkov.