Desigualdad de Bessel

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En matemáticas, especialmente en análisis funcional, la desigualdad de Bessel es una proposición acerca de los coeficientes de un elemento x en un espacio de Hilbert con respecto a una secuencia ortonormal.

En espacios de Hilbert[editar]

Sea H un espacio de Hilbert, suponga que e_1, e_2, ... es una secuencia ortonormal en H. Entonces, para todo x en H se tiene que

\sum_{k=1}^{\infty}\left\vert\left\langle x,e_k\right\rangle \right\vert^2 \le \left\Vert x\right\Vert^2

donde <·,·> denota el producto interior en el espacio de Hilbert H, Si nosotros definimos la suma infinita

x' = \sum_{k=1}^{\infty}\left\langle x,e_k\right\rangle e_k,

La desigualdad de Bessel nos dice que esta serie matemática converge.

Para una secuencia ortonormal completa (esto es, para una secuencia ortonormal que a la vez es una base ortonormal de H), nosotros tenemos la identidad de Parseval, que reemplaza la desigualdad por una igualdad (y consecuentemente x' con x).

En álgebra lineal[editar]

En Álgebra lineal la Desigualdad de Bessel estipula que dado un espacio vectorial V con producto interior definido, dada \beta = \{ \beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{n}\} una subconjunto ortonormal de V. Se cumple que para todo x en V:

\lVert x \lVert ^{2}\geq\sum_{i=1}^{n} \|\langle x,\beta_{i}\rangle \|^{2}

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