Desigualdad de Bessel

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En matemáticas, especialmente en análisis funcional, la desigualdad de Bessel es una proposición acerca de los coeficientes de un elemento x en un espacio de Hilbert con respecto a una secuencia ortonormal.

En espacios de Hilbert[editar]

Sea H un espacio de Hilbert, suponga que e_1, e_2, ... es una secuencia ortonormal en H. Entonces, para todo x en H se tiene que

\sum_{k=1}^{\infty}\left\vert\left\langle x,e_k\right\rangle \right\vert^2 \le \left\Vert x\right\Vert^2

donde <·,·> denota el producto interior en el espacio de Hilbert H, Si nosotros definimos la suma infinita

x' = \sum_{k=1}^{\infty}\left\langle x,e_k\right\rangle e_k,

La desigualdad de Bessel nos dice que esta serie matemática converge.

Para una secuencia ortonormal completa (esto es, para una secuencia ortonormal que a la vez es una base ortonormal de H), nosotros tenemos la identidad de Parseval, que reemplaza la desigualdad por una igualdad (y consecuentemente x' con x).

En álgebra lineal[editar]

En Álgebra lineal la Desigualdad de Bessel estipula que dado un espacio vectorial V con producto interior \langle,\rangle definido, y dada \beta = \{ \beta_{1},\beta_{2},...,\beta_{n}\} una subconjunto ortonormal de V, se cumple para todo x en V:

\| x \| ^{2}\geq\sum_{i=1}^{n} |\langle x,\beta_{i}\rangle |^{2}

Para demostrarlo, se tendrán en cuenta las siguientes propiedades.

1. \|x-y\|^2 = \|x\|^2 - 2\langle x,y\rangle + \|y\|^2 \ \forall x,y \in V, [1]

2. \left\|\sum_{i=0}^n \left\langle x, \beta_i \right\rangle \beta_i \right\|^2 = \sum_{i=0}^n \left| \left\langle x, \beta_i \right\rangle \right|^2 . [Nota 1]

Demostración
En principio, toda norma es no negativa. Como caso particular, se cumple

\left\|x - \sum_{i=1}^n \left \langle x,\beta_i \right \rangle \beta_i \right\|\geq0.

Se eleva al cuadrado ambos miembros. Por la propiedad 1 se tiene

\|x\|^2 - 2 \sum_{i=1}^n \left| \left \langle x,\beta_i \right \rangle \right|^2 + \left\|\sum_{i=1}^n \left \langle x,\beta_i \right \rangle \beta_i \right\|^2 \geq 0.

Se aplica la segunda propiedad

\begin{array}{rcl}
 \displaystyle \|x\|^2 - 2 \sum_{i=1}^n \left| \left \langle x,\beta_i \right \rangle \right|^2 + \sum_{i=1}^n \left | \left \langle x,\beta_i \right \rangle \right|^2 &\geq& 0 \\
 \displaystyle \|x\|^2 - \sum_{i=1}^n \left | \left \langle x,\beta_i \right \rangle \right|^2 &\geq& 0 \\
 \|x\|^2 &\geq& \displaystyle \sum_{i=1}^n \left | \left \langle x,\beta_i \right \rangle \right|^2
\end{array}

que era lo que se quería demostrar.

Véase también[editar]

Notas[editar]

  1. Si se quiere verificar que la propiedad es válida para toda suma en V, primero se requiere demostrar el Teorema de Pitágoras,[2] , teniendo en cuenta que \scriptstyle\|\beta_i\|=1 para todo i. Después, se utiliza inducción para demostrarlo con n sumandos.

Referencias[editar]

  1. Jeronimo, Gabriela; Sabia, Juan; Tesauri, Susana. «Espacios euclídeos». Álgebra lineal. pp. 191, 194. Consultado el 2 de febrero de 2015. 
  2. «Ortogonalidad». p. 61. Consultado el 2 de febrero de 2015. 

Enlaces externos[editar]