Desigualdad de Bernoulli

Ilustración de la desigualdad de Bernoulli para n=3. Aquí, la gráfica roja corresponde a (1+x)³ y ésta nunca es menor que la gráfica azul, correspondiente a 1+3x.

La desigualdad de Bernoulli, es una relación entre cantidades reales.

(Desigualdad de Bernoulli) Para cualquier número real $x\ge -1$ y cualquier número entero $n\ge 1$ se cumple: $(1+x)^n \ge 1+nx$ y la igualdad se obtiene si y sólo si x=0 o n=1.

La desigualdad de Bernoulli tiene generalizaciones y variantes:

• Si el exponente es par, entonces la desigualdad es válida para cualquier número real a.
• Si el exponente es un número real r entonces

$(1+x)^r \ge 1+rx$, si $x \ge -1$ y $r\le 0$ o $r \ge 1$

mientras que

$(1+x)^r \le 1+rx$, si $x \ge -1$ y $0\le r\le 1$.

La desigualdad de Bernoulli es de particular relevancia pues en numerosas ocasiones funciona como lema intermedio en la prueba de resultados de cálculo más complejos.