Desigualdad de Bernoulli

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Ilustración de la desigualdad de Bernoulli para n=3. Aquí, la gráfica roja corresponde a (1+x)3 y ésta nunca es menor que la gráfica azul, correspondiente a 1+3x.

La desigualdad de Bernoulli, es una relación entre cantidades reales.

(Desigualdad de Bernoulli) Para cualquier número real x\ge -1 y cualquier número entero n\ge 1 se cumple:[1]

 (1+x)^n \ge 1+nx

y la igualdad se obtiene si y sólo si x=0 o n=1.

La desigualdad de Bernoulli tiene generalizaciones y variantes:

  • Si el exponente es par, entonces la desigualdad es válida para cualquier número real a.
  • Si el exponente es un número real r entonces

 (1+x)^r \ge 1+rx, si x \ge -1 y r\le 0 o r \ge 1

mientras que

 (1+x)^r \le 1+rx, si x \ge -1 y 0\le r\le 1.

La desigualdad de Bernoulli es de particular relevancia pues en numerosas ocasiones funciona como lema intermedio en la prueba de resultados de cálculo más complejos.

Prueba de la desigualdad[editar]

Para r = 0,

(1+x)^0 \ge 1+0x \,

lo cual es equivalente a 1 ≥ 1

Ahora, supongase que el enunciado es válido para r = k:

(1+x)^k \ge 1+kx. \,

Luego, se tiene que:


\begin{align}
& {} \qquad (1+x)(1+x)^k \ge (1+x)(1+kx)\quad\text{(por hipótesis, debido a que }(1+x)\ge 0) \\
& \iff (1+x)^{k+1} \ge 1+kx+x+kx^2, \\
& \iff (1+x)^{k+1} \ge 1+(k+1)x+kx^2.
\end{align}

Sin embargo, como 1 + (k + 1)x + kx2 ≥ 1 + (k + 1)x (porque kx2 ≥ 0), se tiene que (1 + x)k + 1 ≥ 1 + (k + 1)x, lo cual significa que el enunciado es cierto para r = k + 1.

Por inducción se concluye que el enunciado es cierto para todo  r ≥ 0.

Referencias[editar]

  1. I.N. Bronshtein; K.A. Semendyayev; G. Musiol; H. Muehlig (2007). Handbook of Mathematics (5a edición). Springer. p. 30. ISBN 9783540721215.