Dependencia funcional

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El concepto de dependencia funcional aparece en varios contextos de la matemática y la lógica y se refiere a que determinados entes matemáticos pueden expresarse como funciones matemáticas de otros entes.

Teorema de dependencia funcional[editar]

El concepto de dependencia funcional es una generalización del concepto de dependencia lineal. Se dice que un conjunto de funciones es funcionalmente dependiente cuando existe una relación funcional entre ellas, o alternativamente, cuando alguna de las funciones del conjunto es expresable como función de las otras funciones del conjunto.

Más formalmente, si se tiene un conjunto abierto A\subset\R^n y una colección de funciones \{f_1,\dots,f_m\}, con f_i:A\to\R, se dice que dicho conjunto es funcionalmente dependiente si existe una función F:\R^m\to \R tal que:[1]

  1. Para cada conjunto abierto G\subset\R^m existe a\in G, con F(a)\ne 0\,.
  2. F(f_1(x),\dots,f_n(x)) = 0 para todo x\in A.

En caso contrario se dice que la familia es funcionalmente independiente. La condición (1) anterior expresa que la función F no puede ser idénticamente nula en ningún abierto de \R^m. La relación (2) expresa la existencia de una relación constante entre las funciones de la colección.

El teorema de dependencia funcional establece que una condición necesaria es que si las funciones \{f_1,\dots,f_m\} son de clase C^1\, entonces todos los menores de orden m de la matriz jacobiana \left[D_if_j(x)\right] son idénticamente nulos, o equivalentemente que dicha matriz tiene un rango inferior a m.

Una aplicación importante de este teorema es que da condiciones bajo las cuales una función, que en principio depende de n parámetros, puede expresarse como función de un conjunto de variables más pequeño.

Lógica[editar]

Sean x e y atributos (o conjunto de atributos) de una relación \!R. Se dice que y depende funcionalmente de x (se denota por x \to y) si cada valor de x tiene asociado un solo valor de y. En esta relación, a x se le denomina determinante (de y). Se dice que el atributo y es completamente dependiente de x si depende funcionalmente de x, y no depende de ningún subconjunto propio de x.

Referencias[editar]

  1. Bombal, R. Marín, Vera, 1988, p. 79.