Deducción del módulo de la suma

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Este artículo presenta una deducción para la expresión del módulo resultante de dos vectores (véase Vector (física) y Módulo (vector))

Deducción[editar]

Sean dos vectores \vec{a} y \vec{b} que forman un ángulo \theta entre sí:

Imagen de vectores colocados

La fórmula para calcular \left| \vec{a} + \vec{b} \right| se deduce observando los triángulos rectángulos que se forman, OCB y ACB, y aplicando el Teorema de Pitágoras. En el triángulo OCB:

OB^2 = OC^2 + CB^2

OB = | \vec{a} + \vec{b} |

OC = \left| \vec{a} \left| + AC \right. \right.

Resultando:

\left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = \left( | \vec{a} | + AC \right)^2
+ CB^2

En el triángulo ACB :

\frac{AC}{| \vec{b} |} = \cos \theta

AC = | \vec{b} | \cos \theta

\frac{CB}{| \vec{b} |} = sen \theta

CB = | \vec{b} | sen \theta

Sustituyendo esto en la igualdad de antes resulta:

\left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = \left( | \vec{a} | + | \vec{b} | \cos
\theta \right)^2 + \left( \left| \vec{b} | sen \theta \right)^2 \right.

\left. \left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = | \vec{a} |^2 + 2| \vec{a} | |
\vec{b} \right| \cos \theta + \left| \vec{b} \right|^2 \cos^2 \theta + \left|
\vec{b} \right|^2 sen^2 \theta

\left. \left| \vec{a} + \vec{b} \right|^2 = | \vec{a} |^2 + 2| \vec{a} | |
\vec{b} \right| \cos \theta + \left| \vec{b} \right|^2 \left( \cos^2 \theta +
sen^2 \theta \right)

\left. \cos^2 \theta + sen^2 \theta = 1 \rightarrow \left| \vec{a} +
\vec{b} \right|^2 = | \vec{a} |^2 + 2| \vec{a} | | \vec{b} \right| \cos \theta
+ \left| \vec{b} \right|^2

\left| \vec{a} + \vec{b} \right| = \sqrt{\left. | \vec{a} |^2 + 2| \vec{a} | |
\vec{b} \right| \cos \theta + \left| \vec{b} \right|^2}

\left| \vec{a} + \vec{b} \right| = \sqrt{\left. | \vec{a} |^2 + \left| \vec{b}
\right|^2 + 2| \vec{a} | | \vec{b} \right| \cos \theta}