D'Alembertiano

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El operador D'Alembertiano es la generalización del operador laplaciano a un espacio de Minkowski, o, más en general, a un espacio de dimensión y métrica arbitraria. Se suele representar como \Box ^2, o simplemente como \Box. Técnicamente el D'Alembertiano de una función escalar es el operador de Laplace-Beltrami asociado a la métrica de dicho espacio, operando sobre dicha función.

Su definición es, por analogía con el operador nabla ordinario de \R^3, el producto escalar del vector de derivadas parciales consigo mismo. En una variedad (pseudo)riemanniana el operador nabla se define como:

\Box (\cdot) := g^{\mu\nu} \partial_{\mu} \partial_{\nu} (\cdot)
= \partial_{\mu} \partial^{\mu} (\cdot)

Esta forma manifiestamente covariante implica la invarianza de este operador frente a transformaciones de Lorentz; y representa la ecuación de onda electromagnética.

En el espacio de Minkowski[editar]

La métrica es la métrica plana \ g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}=\text{diag}(1,-1,-1,-1), y por tanto el D'Alambertiano es

\Box (\cdot)=  \eta ^{\mu\nu} \partial_{\mu} \partial_{\nu} =
\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 (\cdot)}{\partial t^2} - \nabla^2 (\cdot)

En un espacio curvo[editar]

Se puede hacer que el operador D'Alembertiano sea también invariante frente a una transformación general de coordenadas si se define en relación a la derivada covariante:

\Box (\cdot)= g ^{\mu\nu} \nabla_{\mu} \nabla_{\nu} (\cdot)
= \nabla_{\mu} \nabla^{\mu} (\cdot)

Ejemplos[editar]

Un ejemplo de utilización del D'Alambertiano sería la ecuación de Klein-Gordon, que describe campos escalares de spin cero:

(\square^2 +m^{2})\phi =0

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