Curva de Peano

Curva de Peano.

La Curva de Peano, nombre en honor al matemático italiano Giuseppe Peano, es una curva que "recubre" todo el plano (específicamente, la curva es un conjunto denso del plano). Al cambiar la dimensión en su límite se sitúa en el contexto de la geometría fractal.

Las propiedades de la Curva de Peano son:

• Es continua y converge uniformemente.
• La función que define la curva es inyectiva, y es homeomorfa a un intervalo, sin embargo, su límite es de una dimensión superior.
• La curva de Peano es equipotente a la región [0; 1]x[0; 1]; sin embargo la dimensión de la curva peaniana es 1 y del cuadrado es 2.

La construcción puede generalizarse a cualquier dimensión n y pueden construirse curvas (con dimensión topológica 1) pero cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch iguala la del espacio. Esto último implica que la clausura topológica en el espacio euclídeo de de dicha curva es tiene un volumen n-dimensional diferente de cero.

Generación

Es la aplicación continua del intervalo unidad 0 ≤ t ≤ 1 sobre el cuadrado unidad Q : 0 ≤ $x_{1}$ ≤ 1, 0 ≤ $x_{2}$ ≤ 2 de $R^{2}$

• Los puntos en el intervalo unidad se consideran en el sistema de base 4.

Ver también

• Curva de Gosper

Referencias

Bibliografía

• Martin Lipschutz: Geometría diferencial. 1970. McGraw-Hill de México, S.A. de C.V. México D.F.