Cuerno de Gabriel

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Imagen parcial del Cuerno de Gabriel (o Trompeta de Torricelli).

El Cuerno de Gabriel (también llamado Trompeta de Torricelli) es una figura geométrica ideada por Evangelista Torricelli que tiene la característica de poseer una superficie infinita pero un volumen finito. Es la superficie de revolución que se obtiene al girar, alrededor del eje X, el gráfico de la función F(x)=1/x, con dominio x ≥ 1.

Historia[editar]

En el momento de su descubrimiento, fue considerado una paradoja. Esta paradoja aparente ha sido descrita de modo informal señalando que sería necesaria una cantidad infinita de pintura para cubrir la superficie interior, mientras que sería posible rellenar toda la figura con una cantidad finita de pintura y así cubrir esa superficie.

La solución de la paradoja es que un área infinita requiere una cantidad infinita de pintura si la capa de pintura tiene un grosor constante. Esto no se cumple en el interior del cuerno, ya que la mayor parte de la longitud de la figura no es accesible a la pintura, especialmente cuando su diámetro es menor que el de una molécula de pintura. Si se considera una pintura sin grosor, sería necesaria una cantidad infinita de tiempo para que ésta llegase hasta el «final» del cuerno.

Ilustración en 3D del Cuerno de Gabriel.

En otras palabras, llegaría un momento en el que el espesor de la trompeta sería más pequeño que una molécula de pintura con lo que, digamos, una gota de pintura cubriría el resto de la superficie de la trompeta (aunque fuera infinito). Así, que la superficie de la trompeta sea infinita no implicaría que la cantidad de pintura tenga que ser infinita.

Pero la paradoja también tiene solución incluso si suponemos una materia divisible indefinidamente (o sea, si no existiesen los átomos). Si el grosor de la capa de pintura es variable y disminuye indefinidamente (tendiendo a cero), la cantidad de pintura se calcularía por una integral impropia que podría ser convergente. En este caso, el espesor de la capa de pintura forzosamente debería ser igual o menor al valor de y, lo que hace que la integral impropia, en este caso, sea convergente, es decir, se necesita una cantidad finita de pintura.

Ecuación matemática[editar]

Gráfico de la función 1/x con dominio x≥1 girado en el eje X.

El cuerno de Gabriel se forma utilizando la gráfica de y= \frac{1}{x}, con el dominio x \ge 1 (al poseer la asíntota en x = 0), y rotándola en tres dimensiones alrededor del eje X. Su descubrimiento es anterior al cálculo y fue posible gracias al Principio de Cavalieri. Es posible calcular tanto el volumen V como el área superficial A del cuerno entre x = 1 y x = a, donde a > 1, mediante integración (véase sólido de revolución y superficie de revolución):

V = \pi \int_{1}^{a} {1 \over x^2}\mathrm{d}x = \pi \left( 1 - {1 \over a} \right)
A = 2\pi \int_1^a \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x^4}}}{x}\mathrm{d}x > 2\pi \int_1^a \frac{\sqrt{1}}{x}\ \mathrm{d}x = 2\pi \ln a.

a puede ser tan grande como se desee, pero en la ecuación se puede observar que el volumen del cuerno entre x = 1 y x = a nunca será igual a \pi; sin embargo, se acercará más y más a \pi conforme a crece. Matemáticamente, el volumen tiende a \pi conforme a tiende a infinito. Empleando límites, el volumen puede expresarse de la siguiente forma:

\lim_{a \to \infty}\pi \left( 1 - {1 \over a} \right) = \pi.

Esto es así porque conforme a tiende a infinito, 1/a tiende a cero, lo cual implica que el volumen tienda a \pi(1 - 0), que es igual a \pi.

Con respecto al área, la fórmula anterior muestra que ésta es mayor que 2\pi veces el logaritmo neperiano de a. No existe una cota superior para el logaritmo neperiano de a conforme tiende a infinito, lo cual quiere decir que, en este límite, el cuerno tiene un área superficial infinita. Matemáticamente, esto es expresado de la siguiente forma:

\lim_{a \to \infty}2 \pi \ln a = \infty.

Véase también[editar]

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