Criterio de la segunda derivada

El Criterio de la segunda derivada es un teorema o método de cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba correspondiente a los máximos y mínimos relativos de una función.

Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función $f$ es convexa en un intervalo abierto que contiene a $c$ , y $f'(c)=0,\;f(c)$ debe ser un mínimo relativo a $f$ . De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava en un intervalo abierto que contiene a $c$ y $f'(c)=0,\;f(c)$ debe ser un máximo relativo de $f$ .

Extremos relativos[editar]

Sea $f$ una función derivable dos veces en un entorno abierto que contiene a $x$ tal que $f'(x)=0$ ( $x$ es, consecuentemente, un punto crítico de $f(x)$ ) con la siguiente segunda derivada:^[1]

Si $f''(x)<0$ , entonces $f$ tiene un máximo relativo en $(x,f(x))$ .
Si $f''(x)>0$ , entonces $f$ tiene un mínimo relativo en $(x,f(x))$ .
Si $f''(x)=0$ , entonces el criterio no decide. Esto es, $f$ quizás tenga un máximo relativo en $x$ , un mínimo relativo en $(x,f(x))$ o ninguno de los dos. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio de la tercera derivada.

Ejemplo[editar]

Los puntos críticos de la función $f(x)=3x^{3}-8x^{2}+7x-2$ son $x=1$ y $x=7/9$ . La función es dos veces derivable en entornos de estos puntos y su segunda derivada es $f''(x)=18x-16$ . Como $f''(1)=2>0$ y $f''(7/9)=-2<0$ , por el criterio de la segunda derivada, $f$ tiene un mínimo local en $x=1$ y un máximo local en $x=7/9$ .^[2]