Cortes de Dedekind

Los cortes de Dedekind son unos conjuntos de números racionales que representan la primera construcción formal del conjunto de los números reales. Con su aparición se cierra el problema histórico de la fundamentación del Análisis Matemático.

Cortes y cortes racionales.

Un conjunto $A \subset \mathbb{Q}$ es un corte de Dedekind (o simplemente un corte) si cumple las siguientes propiedades:

• $A \neq \varnothing$.

• $A \neq \mathbb{Q}$.

• Si $a \in A$ y $b < a\;$ entonces $b \in A$.

• $A\;$ no tiene último elemento, es decir, para cada $a \in A$ existe $a' \in A$ tal que $a<a'\;$.

El conjunto de todas los cortes es (por definición) el conjunto $\mathbb{R}$ de los números reales.

Si tomamos un número racional arbitrario $r \in \mathbb{Q}$, entonces el corte $A_r := \{ a \in \mathbb{Q} : a<r \}$ se denominará corte racional (asociada a $r\;$).

Es evidente que a todo número racional le corresponde un corte racional y solamente uno. Podemos establecer así una aplicación inyectiva $\mathbb{Q} \longrightarrow \mathbb{R}$ que al número racional $r\;$ le asocie el corte racional $A_r\;$.

Un corte $A\;$ es corte racional si y solo si existe $r \in \mathbb{Q}$ tal que $r = \operatorname{sup} \left( A \right)$.

Relación de orden.

Definición.

Dados dos cortes $A$ y $B$ diremos que $A \leq B$ si y solo si $A \subseteq B$ , lo que equivale a que $sup(A) \leq sup(B)$ .

En el conjunto de los números reales (conjunto de todos los cortes), $\leq$ es una relación de orden, que es orden total, pero no es buen orden.

Positivos, negativos, cero.

Denominamos cero a la cortadura racional $A_0 := \{ r \in \mathbb{Q}: r<0 \}$.

Diremos que un corte $A$ es un número positivo si $A_0 \leq A$.

Diremos que un corte $A$ es un número negativo si $A \leq A_0$.

Diremos que un corte $A$ es estrictamente positivo o no negativo si $A_0 < A$.

Diremos que un corte $A$ es estrictamente negativo o no positivo si $A < A_0$.

Suma y producto.

Suma.

Dados dos cortes arbitrarios $A$ y $B$ definimos su suma como el conjunto $A+B := \{ a+b:a \in A, b \in B \}$. $A+B$ es un corte, con lo que + representa una operación interna en el conjunto de los números reales, operación denominada suma.

La suma dota al conjunto de los números reales de estructura de grupo abeliano, es decir, en $(\mathbb{R},+)$ se verifican las propiedades asociativa, conmutativa, existencia de elemento neutro ($A_0$) y existencia para cada corte $A$ de un elemento simétrico (opuesto) $-A := \{ r \in \mathbb{Q}: \exist s \in \mathbb{Q} \setminus A , s < -r \}$.

Además, se da la compatibilidad de la suma con el orden, es decir, si $A$ y $B$ son cortes y $A \leq B$, entonces, cualquiera que sea el corte $C$, se cumple que $A + C \leq B + C$.

Por último, la suma en $\mathbb{R}$ es una extensión de la suma en $\mathbb{Q}$, esto es, si $r,s \in \mathbb{Q}$, entonces $A_r + A_s = A_{r+s}$.

Producto.

El producto de cortes no es tan sencillo de definir como la suma, y hay que hacerlo por casos.

Sean $A$ y $B$ dos cortes:

• Si $A>A_0$ y $B>A_0$, definimos el conjunto $A \cdot B := \{ a \cdot b : a \in A, b \in B, a \geq 0, b \geq 0 \} \cup A_0$. Entonces $A \cdot B$ es un corte y además es $A \cdot B > A_0$.

• Si $A>A_0$ y $B<A_0$, definimos el conjunto $A \cdot B := -(A\cdot(-B))$. Así $A \cdot B$ es un corte y además es $A \cdot B < A_0$.

• Si $A<A_0$ y $B>A_0$, definimos el conjunto $A \cdot B := -((-A)\cdot B)$. Se cumple que $A \cdot B$ es un corte y además es $A \cdot B < A_0$.

• Si $A<A_0$ y $B<A_0$, definimos el conjunto $A \cdot B := (-A)\cdot(-B)$. Se verifica que $A \cdot B$ es un corte y además es $A \cdot B > A_0$.

• Si $A=A_0$ o $B=A_0$, definimos el conjunto $A \cdot B := A_0$.

En cualquier caso, $A \cdot B$ es un corte, con lo que $\cdot$ es una operación interna en el conjunto de los números reales, operación que denominaremos producto.

El producto cumple las propiedades conmutativa, asociativa, existe un elemento neutro $A_1$ para el producto, y si $A$ no es el corte cero, entonces existe elemento simétrico del corte $A$ para el producto, denominado inverso de $A$, y definido por $A^{-1} := \left\{ r \in \mathbb{Q}: r > 0, \exist s \in \mathbb{Q} \setminus A, s<\dfrac{1}{r} \right\} \cup A_0 \cup \{ 0 \}$, si $A > A_0$, y por $A^{-1}:= -((-A)^{-1})$ cuando $A<A_0$. Con estas propiedades, $(\mathbb{R} \setminus \{ A_0 \}, \cdot)$ está dotado de estructura de grupo abeliano.

Si $A \cdot B = A_0$, entonces se prueba que bien $A=A_0$ o bien $B=A_0$.

El producto en $\mathbb{R}$ es distributivo respecto de la suma. De esta manera $(\mathbb{R},+,\cdot)$ tiene estructura de cuerpo.

El producto es compatible con el orden de los reales positivos: si $A$, $B$ y $C$ son cortes con $A \leq B$ y $C \geq A_0$, entonces $A\cdot C \leq B \cdot C$.

El producto en $\mathbb{R}$ es extensión del producto en $\mathbb{Q}$: si $r,s \in \mathbb{Q}$, entonces $A_r \cdot A_s = A_{r \cdot s}$.

Principales propiedades.

El conjunto de los números reales goza de ciertas propiedades que son particularmente sencillas de demostrar usando cortes de Dedekind, como son:

• Es un cuerpo totalmente ordenado.

• El conjunto de los números racionales está isomórficamente incluido en él (es decir, $\mathbb{Q}$ es un subcuerpo totalmente ordenado de $\mathbb{R}$).

• En $\mathbb{R}$ se satisface el principio del supremo, esto es, todo conjunto no vacío que esté acotado superiormente tiene supremo. Como consecuencia inmediata, todo conjunto acotado inferiormente tiene ínfimo.

Se puede probar que el conjunto de los números reales es el único que tiene estas propiedades, es decir, que si $\mathbb{K}$ es un cuerpo ordenado que verifica el principio del supremo, entonces $\mathbb{K}$ es isomorfo a $\mathbb{R}$ (en particular, si $\mathbb{Q} \subset \mathbb{K}$, entonces es $\mathbb{K} = \mathbb{R}$). En ese caso se dirá que $\mathbb{K}$ es un sistema de números reales.

Otras propiedades

• $\mathbb{N}$ (el conjunto de los números naturales) no está acotado superiormente en $\mathbb{R}$.

• $\mathbb{R}$ es arquimediano: dados dos elementos $x,y \in \mathbb{R}$ , arbitrarios $x>0$, existe un número natural $n \in \mathbb{N}$ de forma que $y < n \cdot x$.

• Entre dos números reales distintos siempre existen infinitos números reales (infinitos números racionales e infinitos números irracionales).

• Dado cualquier $x \in \mathbb{R}$ se verifica que $x= sup \{ r \in \mathbb{Q}: r<x \} = inf \{ s \in \mathbb{Q}: x<s \}$.