Coordenadas de Rindler

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En física relativista, la carta de coordenadas de Rindler es una importante y útil carta de coordenadas representando parte del espaciotiempo plano, también llamado el vacío de Minkowski. La carta de Rindler fue introducida por Wolfgang Rindler. El marco o sistema de coordenadas de Rindler describe un marco de referencia uniformemente acelerado en el espacio de Minkowski. En relatividad especial, una partícula uniformemente acelerada lleva un movimiento hiperbólico. Para cada partícula puede escogerse un marco de Rindler para el cual esta se encuentra en reposo.

Relación con la carta Cartesiana[editar]

Para obtener la carta de Rindler, se comienza con la carta cartesiana

 ds^2 = -dT^2 + dX^2 + dY^2 + dZ^2, \; \; -\infty < T, X, Y, Z < \infty

En la región 0 < X < \infty, \; -X < T < X, que es a veces llamada la cuña de Rindler, se define la nueva carta usando la transformación de coordenadas

 t = \operatorname{arctanh}(T/X), \; x= \sqrt{X^2-T^2}, \; y = Y, \; z = Z

La transformación inversa es

 T = x \, \sinh(t), \; X = x \,  \cosh(t), \; Y = y, \; Z = z

En la carta de Rindler, el elemento de línea de minkovsky se convierte en

 ds^2 = -x^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2, \; 0 < x < \infty, -\infty < t, y, z < \infty

Los observadores de Rindler[editar]

En la nueva carta, es natural tomar el campo de co-marco

 d\sigma^0 = -x \, dt, \; \; d\sigma^1 = dx, \; \; d\sigma^2 = dy, \; \; d\sigma^3 = dz

el cual tiene el campo de marco dual

 \vec{e}_0 = \frac{1}{x} \, \partial_t, \; \; \vec{e}_1 = \partial_x, \; \; \vec{e}_2 = \partial_y, \; \; \vec{e}_3 = \partial_z

Esto define un marco local de Lorentz en el espacio tangente en cada evento (en la región cubierta por la carta de Rindle, a saber, la cuña de Rindler). Las curvas integrales del campo de vectores unitarios tipo tiempo \vec{e}_0 dan una congruencia tipo tiemo, consistente en las líneas de universo de una familia de observadores llamados los observadores de Rindler. En la carta de Rindler, estas líneas de universo aparecen como las líneas de la coordenada vertical x = x_0, \; y = y_0, z = z_0. Usando la transformación de coordenadas anterior, encontramos que estas corresponden a arcos de hipérbola en la carta cartesiana original.

Algunos observadores de Rindler representativos (arcos hiperbólicos azul marino) dibujados usando la carta cartesiana.

Como con cualquier congruencia tipo tiempo en cualquier variedad Lorentziana, esta congruencia tiene una descomposición cinemática (ver ecuación de Raychaudhuri). En este caso, la expansión y vorticidad de la congruencia de los observadores de Rindler se anula. La anulación del tensor de expansión implica que cada uno de los observadores mantiene una distancia constante con sus vecinos. La anulación del tensor de vorticidad implica que las líneas de universo de los observadores no están rotando unas sobre otras; este es un tipo de ausencia local de "arremolinamiento".

El vector aceleración de cada observador viene dado por la derivada covariante

 \nabla_{\vec{e}_0} \vec{e}_0 = \frac{1}{x} \, \vec{e}_1

Esto es, cada observador de Rindler está acelerando en la dirección \partial_x. Individualmente hablando, cada observador está de hecho acelerando com magnitud constante en esta dirección, por lo que sus líneas de universo son los análogos Lorentzianos de las cirunferencias, que son las curvas de curvatura constante en la geometría euclídea.

Debido a que los observadores de Rindler están libres de vorticidad, son también una hipersuperficie ortogonal. The hiperrebanadas espaciales ortogonales son t=t_0; estas aparecen como semiplanos horizontales en la carta de Rindler y como semiplanos atravesando T = X = 0 en the carta cartesiana (ver la figura ariba). Haciendo dt=0 en el elemento de línea, vemos que estas tienen la geometría eclidiana ordinaria,  d\sigma^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2, \; 0 < x < \infty, \; -\infty < y, z < \infty. Así, las coordenadas espaciales en la carta de Rindler tienen una interpretación muy simple consistente con la afirmación de que los observadores de Rindler son mutumente estacionarios. Volveremos a esta propiedad de rigidez de los observadores de Rindler un poco más tarde en este artículo.

Una propiedad "paradójica"[editar]

Nótese que los observadores de Rindler con coordenada x más pequeña y constante. ¡están acelerando más fuerte para mantenerse al mismo nivel! Esto puede parecer sorprendente porque en física newtoniana, los observadores que mantienen distancia relativa constante deben compartir la misma aceleración. Pero en física relativista, vemos que el extremo trasero de una barra que está accelerada por alguna fuerza externa (paralela a su eje de simetría) debe acelerar un poco más fuerte que el extremo delantero, o si no eventualmente se romperá.

Este fenómeno es la base de una bien conocida "paradoja". En todo caso, es una simple consecuencia de la cinemática relativista. Una forma de ver esto es observar que la magnitud del vector aceleración es justamente la curvatura de la línea de universo correspondiente. Pero las líneas de universo de los observadores de Rindler son los análogos de una familia de circunferencias concéntricas en el plano euclídeo, por lo que estamos lidiando simplemente con el análogo lorentziano de un hecho familiar: al girar en una familia de circunferencias concéntricas, los círculos más pequeños deben doblarse más rápido (por unidad de arco) que los exteriores.

Observadores de Minkowski[editar]

Un observador de Minkowski representativo (curva hiperbólica secante azul marino) dibujada usando la carta de Rindler. El horizonte de Rindler está mostrado en rojo.

Vale la pena introducir también un marco alternativo, dado en la carta de Minkowski por la elección natural

\vec{f}_0 = \partial_T, \; \vec{f}_1 = \partial_X, \; \vec{f}_2 = \partial_Y, \; \vec{f}_3 = \partial_Z

Transformando estos campos de vectores usando la transformación de coordenadas dada anteriormente, encontramos que en la carta de Rindler (en la cuña de Rinder) este marco se convierte en

\vec{f}_0 =  \frac{\cosh(t)}{x} \, \partial_t - \sinh(t) \, \partial_x
\vec{f}_1 = -\frac{\sinh(t)}{x} \, \partial_t + \cosh(t) \, \partial_x
\vec{f}_2 = \partial_y, \; \vec{f}_3 = \partial_z

Calculando la descomposición cinemática de la congruencia tipo tiempo definida por el campo de vectores unitarios tipo tiempo \vec{f}_0, encontramos que la expansión y la vorticidad de nuevo se anulan, y además el vector aceleración también se anula, \nabla_{\vec{f}_0} \vec{f}_0 = 0. En otras palabras, esta es una congruencia geodésica; los observadores correspondientes están en un estado de movimiento inercial. En la carta cartesiana original, estos observadores, a quienes vamos a llamar observadorse de Minkowski, están en reposo.

En la carta de Rindler, las líneas de universo de los observadores de Minkowski aparecen como curvas secantes hiperbólicas asintóticas al plane plano x=0. Específicamente, en coordenadas de Rindler, la línea de universo de un observador de Minkowski pasando a través del evento t=t_0, \; x=x_0, \; y=y_0, \; z=z_0 es

t = \operatorname{arctanh}(s/x_0), \; x = \sqrt{x_0^2-s^2}, \; y = y_0, \; z = z_0, \; -x_0 < s < x_0

donde s es el tiempo propio de este observador de Minkowski. Nótese que sólo una pequeña parte de su historia es cubierta por la carta de Rindler. Esto muestra explícitamente por qué la carta de Rindler no es geodésicamente completa; geodésicas tipo tiempo salen fuera de la región cubierta por la carta en un tiempo propio finito. Por supuesto, sabemos que la carta de Rindler no puede ser geodésicamente completa, porque sólo cubre una parte de la carta cartesiana original, que es geodésicamente completa.

En el caso mostrado en la figura, x_0 = 1 y hemos dibujado (correctamente escalado) los conos de luz en s=-\frac{1}{2}, \; 0, \; \frac{1}{2}.

El horizonte de Rindler[editar]

La carta de coordenadas de Rindler tiene unaa singularidad de coordenadas en x = 0, donde el tensor métrico (expresado en las coordenadas de Rindler) tiene un determinante nulo. Esto ocurre porque mientras x \rightarrow 0 la aceleración de los observadores de Rindler diverge. Como podemos ver por la figura que iulstra la cuña de Rindler, el locus x=0 en la carta de Rindler corresponde al locus T^2=X^2, \; X > 0 en la carta cartesiana, que consiste en dos semiplanos nullos, cada uno regido por una congruencia geodésica nula.

Por el momento, simplemente consideraremos el horizonte de Rindler como el contorno de las coordenadas de Rindler. Más tarde veremos que es de hecho análogo en algunos importantes aspectos al horizonte de eventos en un agujero negro.

Geodésicas[editar]

Las ecuaciones geodésicas en la carta de Rindler son fácilmente obtenidas del lagrangiano; son

 \ddot{t} + \frac{2}{x} \, \dot{x} \, \dot{t} = 0, \; \ddot{x} + x \, \dot{t}^2 = 0, \; \ddot{y} = 0, \; \ddot{z} = 0

Por supuesto, en la carta cartesiana original, las geodésicas aparecen como líneas rectas, por lo que podemos obtenerlas fácilmente en la carta de Rindler usando la transformación de coordenadas. Sin embargo, es instructivo obtenerlas y estudiarlas independientemente de la carta original, y haremos eso en esta sección.

Algunas geodésicas nulas representativas (arcos de hipérbola semicirculares negros) proyectados en la hiperrebanada espacial t=0 de los observadores de Rindler. El horizonte de Rindler está mostrado como un plano magenta.

De la primera, tercera y cuarta obtenemos inmediatamenet las integrales primeras

 \dot{t} = \frac{E}{x^2}, \; \; \dot{y} = P, \; \; \dot{z} = Q

Pero por el elemento de línea tenemos \epsilon = -x^2 \, \dot{t}^2 + \dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2 where \epsilon=-1, \, 0, \, 1 para las geodésicas tipo tiempo, nulas y tipo espacio, respectivamente. Esto da la cuarta primera integral, a saber

 \dot{x}^2 = \left(\epsilon + \frac{E^2}{x^2} \right) - P^2 - Q^2.

Esto basta para dar la completa solución de las ecuaciones geodésicas.

En el caso de geodésicas nulas, de \frac{E^2}{x^2} - P^2-Q^2 con E diferente de cero, vemos que la coordenada x varía en el intervalo0 < x < \frac{E}{\sqrt{P^2+Q^2}}.

La familia de siete parámetros completa que da cualquier geodésica nula a través de cualquier evento en la cuña de Rindler es

\begin{matrix}
 t - t_0 & = &
 \operatorname{arctanh} \left(
 \frac{s \, (P^2+Q^2) - \sqrt{E^2- (P^2+Q^2) \, x_0^2}}{E}
 \right) \\
 & & + ~ \operatorname{arctanh} \left(
 \frac{\sqrt{E^2 - (P^2+Q^2) \, x_0^2}}{E}
 \right)
\end{matrix}
 x = \sqrt{ x_0^2 + 2 \, s \, \sqrt{E^2-(P^2+Q^2) \, x_0^2} - s^2 \, (P^2+Q^2) }
 y - y_0 = P \, s; \; \; z - z_0 = Q \, s

Dibujando los caminos de algunas geodésicas nulas representativas a través de un evento dado (esto es, proyectando a la hiperrebanada t=0), obtenemos un dibujo que se parece sospechosamente a la familia de todas las semicircunferencias que atraviesan un punto ortogonales al horizonte de Rindler (ver figura).

La métrica de Fermat[editar]

El hecho de que en la carta de Rindler las proyecciones de las geodésicas nulas en cualquier hiperrebanada espacial para los observadores de Rindler son simplemente arcos semicirculares puede ser verificado directamente a partir de la solución general dada, pero hay una manera muy simple de ver esto. Un espaciotiempo estático es uno en el cual un campo de vectores de Killing tipo tiempo y libre de vorticidad puede ser hallado. En este caso, tenemos una familia definida unívocamente de hiperrebanadas espaciales (idénticas) ortogonal a los correspondientes observadores estáticos (quienes no necesitan ser observadores inerciales). Esto nos permite definir una nueva métrica en cualquiera de estas hiperrebanadas que está conformemente relacionada con la métrica original heredada del espaciotiempo, pero con la propiedad de que las geodésicas en la nueva métrica (nótese que esta es una métrica Riemanniana en una 3-variedad Riemanniana) son precisamente las proyecciones de las geodésicas nulas del espaciotiempo. Esta nueva métrica es llamada la métrica de Fermat, y en un espaciotiempo estático dotado de una carta de coordenadas en la cual el elemento de línea tenga la forma

 ds^2 = g_{00} \, dt^2 + g_{jk} \, dx^j \, dx^k, \; \; 1 \leq j, \; k \leq 3

la métrica de Fermat en t = 0 es simplemente

 d\rho^2 = \frac{g_{jk} \, dx^j \, dx^k}{-g_{00}}

(donde los coeficientes métricos se entiende que son evaluados en t = 0).

En la carta de Rindler, la traslación tipo tiempo \partial_t es tal campo de vectores de Killing, por lo que éste es un espaciotiempo estático (nada sorprendente, ya que el espaciotiempo de Minkowski es por supuesto trivialmente una solución estática para el vacío de la ecuación de campo de Einstein). Por tanto, podemos escribir inmediatamente la métrica de Fermat para los observadores de Rindler:

 d\rho^2 = \frac{dx^2 + dy^2 + dz^2}{x^2}, \; \; 0 < x < \infty, \; \; -\infty < y, z < \infty

Pero este es el bien conocido elemento de línea del 3-espacio hiperbólico H3 en la carta espacial de la mitad superior. Esto es análogo a la bien conocida carta espacial de la mitad superior para el plano hiperbólico H2, que es familiar para generaciones de estudiantes de análisis complejo en conexión con los problemas de mapeado conforme (y muchos más), y muchos lectores con ménte matemática ya saben que las geodésicas de H2 en el modelo de plano de la mitado superior son simplemente semicirculos (ortogonales al círculo en el infinito representado por el eje real)

Simetrías[editar]

Ya que la carta de Rindler es una carta de coordenadas para el espaciotiempo de Minkowski, esperamos encontrar diez campos de vectores de Killing linealmente independientes. Efectivamente, en la carta cartesiana podemos hallar fácilmente diez campos de vectores de Killing linealmente independientes, generando respectivamente una traslación temporal, tres traslaciones espaciales, tres rotaciones y tres aceleraciones. Juntas, estas generan el (correctamente isocrono) grupo de Poincaré, el grupo de simetría del espaciotiempo de Minkowski.

No obstante, es instructivo escribir y resolver las ecuaciones de los vectores de Killing directamente. Obtenemos cuatro familiares campos de vectores de Killing

 \partial_t, \; \; \partial_y, \; \; \partial_z, \; \; -z \, \partial_y + y \, \partial_z

(traslación temporal, traslaciones espaciales ortogonales a la dirección de la aceleración, y rotación espacial ortogonal a la dirección de la aceleración) y seis más:

 \exp(\pm t) \, \left( \frac{y}{x} \, \partial_t \pm \left( y \, \partial_x - x \, \partial_y \right) \right)
 \exp(\pm t) \, \left( \frac{z}{x} \, \partial_t \pm \left( z \, \partial_x - x \, \partial_z \right) \right)
 \exp(\pm t) \, \left( \frac{1}{x} \, \partial_t \pm \partial_x \right)

(donde los signos han sido elegidos consistentemente + o -). Dejamos como ejercicio ver cómo estos están relacionados con los generadores estándar; aquí deseamos señalar que deberíamos ser capaces de obtener generadores equivalentes a \partial_T en la carta cartesiana, pero la cuña de Rindler es obviamente no invariante bajo esta traslación. ¿Cómo puede ser esto? La respuesta es que como cualquier cosa definida por un sistema de ecuaciones en derivadas parciales en una variedad suave, la ecuación de Killing tendrá en general soluciones localmente definidas, pero estas pueden no existir globalmente. Esto es, con las restricciones apropiadas en el parámetro de grupo, un flujo de Killing puede siempre ser definido en un apropiado vecindario local, pero el flujo puede no estar bien definido globalmente. Esto no tiene nada que ver con las variedades lorentzianas per se, ya que lo mismo ocurre en el estudio de las variedades suaves en general.

Nociones de distancia[editar]

One of the many valuable lessons to be learned from a study of the Rindler chart is that there are in fact several distinct (but reasonable) notions of distance which can be used by the Rindler observers.

Operational meaning of the radar distance between two Rindler observers (navy blue vertical lines). The Rindler horizon is shown at left (red vertical line). The world line of the radar pulse is also depicted, together with the (properly scaled) light cones at events A, B, C.

The first is the one we have tacitly employed above: the induced Riemannian metric on the spatial hyperslices t=t_0. We will call this the ruler distance since it corresponds to this induced Riemannian metric, but its operational meaning might not be immediately apparent.

From the standpoint of physical measurement, a more natural notion of distance between two world lines is the radar distance. This is computed by sending a null geodesic from the world line of our observer (event A) to the world line of some small object, whereupon it is reflected (event B) and returns to the observer (event C). The radar distance is then obtained by dividing the round trip travel time, as measured by an ideal clock carried by our observer.

(In Minkowski spacetime, fortunately, we can ignore the possibility of multiple null geodesic paths between two world lines, but in cosmological models and other applications things are not so simple! We should also caution against assuming that this notion of distance between two observers gives a notion which is symmetric under interchanging the observers!)

In particular, let us consider a pair of Rindler observers with coordinates x=x_0, \; y=0, \; z=0 and x=x_0 + h, \; y=0, \; z = 0 respectively. (Note that the first of these, the trailing observer, is accelerating a bit harder, in order to keep up with the leading observer). Setting dy = dz = 0 in the Rindler line element, we readily obtain the equation of null geodesics moving in the direction of acceleration:

 t-t_0 = \log(x/x_0)

Therefore, the radar distance between these two observers is given by

 x_0 \, \log \left(1 + \frac{h}{x_0} \right) = h - \frac{h^2}{2 \, x_0} + O \left( h^3 \right)

This is a bit smaller than the ruler distance, but for nearby observers the discrepancy is negligible.

A third possible notion of distance is this: our observer measures the angle subtended by a unit disk placed on some object (not a point object!), as it appears from his location. We call this the optical diameter distance. Because of the simple character of null geodesics in Minkowski spacetime, we can readily determine the optical distance between our pair of Rindler observers (aligned with the direction of acceleration). From a sketch it should be plausible that the optical diameter distance scales like h+ \frac{1}{x_0} + O \left( h^3 \right) . Therefore, in the case of a trailing observer estimating distance to a leading observer (the case h>0), the optical distance is a bit larger than the ruler distance, which is a bit larger than the radar distance. The reader should now take a moment to consider the case of a leading observer estimating distance to a trailing observer!

There are other notions of distance, but the main point is clear: while the values of these various notions will in general disagree for a given pair of Rindler observers, they all agree that every pair of Rindler observers maintains constant distance. The fact that very nearby Rindler observers are mutually stationary follows from the fact, noted above, that the expansion tensor of the Rindler congruence vanishes identically. However, we have shown here that in various senses, this rigidity property holds at larger scales. This is truly a remarkable rigidity property, given the well-known fact that in relativistic physics, no rod can be accelerated rigidly (and no disk can be spun up rigidly) --- at least, not without sustaining inhomogeneous stresses. The easiest way to see this is to observe that in Newtonian physics, if we "kick" a rigid body, all elements of matter in the body will immediately change their state of motion. This is of course incompatible with the relativistic principle that no information having any physical effect can be transmitted faster than the speed of light.

It follows that if a rod is accelerated by some external force applied anywhere along its length, the elements of matter in various different places in the rod cannot all feel the same magnitude of acceleration if the rod is not to extend without bound and ultimately break. In other words, an accelerated rod which does not break must sustain stresses which vary along its length. Furthermore, in any thought experiment with time varying forces, whether we "kick" an object or try to accelerate it gradually, we cannot avoid the problem of avoiding mechanical models which are inconsistent with relativistic kinematics (because distant parts of the body respond too quickly to an applied force).

Returning to the question of the operational significance of the ruler distance, we see that this should be the distance which our observers will obtain should they very slowly pass from hand to hand a small ruler which is repeatedly set end to end. But justifying this interpretation in detail would require some kind of material model.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

Useful background:

  • Boothby, William M. (1986). An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry. New York: Academic Press. ISBN 0-12-116052-1.  See Chapter 4 for background concerning vector fields on smooth manifolds.
  • Frankel, Theodore (1979). Gravitational Curvature: an Introduction to Einstein's Theory. San Francisco : W. H. Freeman. ISBN 0-7167-1062-5.  See Chapter 8 for a derivation of the Fermat metric.

Rindler coordinates:

  • Misner, Charles; Thorne, Kip S. & Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.  See Section 6.6.
  • Rindler, Wolfgang (2001). Relativity: Special, General and Cosmological. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-850836-0. 

Rindler horizon:

  • Barceló, Carlos; Liberati, Stefano; and Visser, Matt. «Analogue Gravity». Living Reviews in Relativity. Consultado el 06-05-2006.