Constantes de Stieltjes

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En matemáticas, las constantes de Stieltjes \gamma_k son los coeficientes de la expansión en serie de Laurent de la función zeta de Riemann:

\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n \; (s-1)^n

Las constantes de Stieltjes se definen por el siguiente límite

 \gamma_n = \lim_{m \rightarrow \infty}
{\left[\left(\sum_{k = 1}^m  \frac{ \ln^n k }{k}\right) - \frac{ \ln^{n+1} m }{n+1}\right]}

(En el caso n = 0, el primer sumando requiere la evaluación de 00, que se toma como 1.)

La fórmula integral de Cauchy nos da la siguiente representación integral:

\gamma_n = \frac{(-1)^n n!}{2\pi} \int_0^{2\pi} e^{-nix} \zeta\left(e^{ix}+1\right) dx.

Para el caso n = 0, se recupera la constante de Euler-Mascheroni \gamma_0 = \gamma = 0.577....

Una aproximación de las primeras constantes viene dada por la siguiente tabla:

n Valores aproximados de γn
0 0.5772156649015328606065120900824024310421
1 -0.072815845483676724860586
2 -0.0096903631928723184845303
3 0.002053834420303345866160
4 0.0023253700654673000574
5 0.0007933238173010627017
6 -0.00023876934543019960986
7 -0.0005272895670577510
8 -0.00035212335380
9 -0.0000343947744
10 0.000205332814909

Constantes de Stieltjes generalizadas[editar]

Más generalmente, se puede definir las constantes de Stieltjes \gamma_k(q) asociadas a las expansiones en serie de Laurent de la función zeta de Hurwitz:

\zeta(s,q)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n(q) \; (s-1)^n

Donde q es un número complejo con Re(q)>0. Como la función zeta de Hurwitz es un generalización de la función zeta de Riemann, tenemos que:

\gamma_n(1)=\gamma_n

Véase también[editar]

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