Constante zeta

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En matemática, una constante zeta es el resultado de la función zeta de Riemann cuando esta se aplica sobre un número entero.

La función zeta de Riemann en 0 y en 1[editar]

En cero, se tiene:

\zeta(0)=B_1=-\frac{1}{2}.

La función zeta tiene un único polo en 1:

\zeta(1)=\infty.

Siendo el valor de su residuo en este punto la unidad:

Res(\zeta(s),1)=1

Además, en el infinito, su valor es la unidad:

\lim_{s\rightarrow\infty}\zeta(s)=1

Enteros positivos[editar]

Enteros positivos pares[editar]

Para los números pares, el valor de la función zeta está relacionado con los números de Bernoulli, esta relación fue dada por Euler:



\zeta(2n) = (-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}

para n\ge 1. Los primeros valores son:

\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} = 1.6449\dots; la demostración de esta igualdad es la solucción del Problema de Basilea.
\zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90} = 1.0823\dots; Ley de Stefan-Boltzmann y aproximación de Wien usadas en física.
\zeta(6) = 1 + \frac{1}{2^6} + \frac{1}{3^6} + \cdots = \frac{\pi^6}{945} = 1.0173...\dots
\zeta(8) = 1 + \frac{1}{2^8} + \frac{1}{3^8} + \cdots = \frac{\pi^8}{9450} = 1.00407... \dots
\zeta(10) = 1 + \frac{1}{2^{10}} + \frac{1}{3^{10}} + \cdots = \frac{\pi^{10}}{93555} = 1.000994...\dots
\zeta(12) = 1 + \frac{1}{2^{12}} + \frac{1}{3^{12}} + \cdots = \frac{691\pi^{12}}{638512875} = 1.000246\dots
\zeta(14) = 1 + \frac{1}{2^{14}} + \frac{1}{3^{14}} + \cdots = \frac{2\pi^{14}}{18243225} = 1.0000612\dots

La relación entre las constantes zeta en los enteros positivos pares y los números de Bernoulli se puede escribir como:

0=A_n \zeta(n) - B_n \pi^{n}\,

Donde A_n y B_n son enteros para todo 'n' par. Algunos de los valores de los coeficientes aquí definidos son:

2n A B
2 6 1
4 90 1
6 945 1
8 9450 1
10 93555 1
12 638512875 691
14 18243225 2
16 325641566250 3617
18 38979295480125 43867
20 1531329465290625 174611
22 13447856940643125 155366
24 201919571963756521875 236364091
26 11094481976030578125 1315862
28 564653660170076273671875 6785560294
30 5660878804669082674070015625 6892673020804
32 62490220571022341207266406250 7709321041217
34 12130454581433748587292890625 151628697551

Sea \eta_n el coeficiente B_n/A_n definido arriba.


\zeta(2n) = \sum_{\ell=1}^{\infty}\frac{1}{\ell^{2n}}=\eta_n\pi^{2n},

se obtiene de forma recursiva,


\eta_1 = \frac{1}{6};
 
\eta_n=\sum_{\ell=1}^{n-1}(-1)^{\ell-1}\frac{\eta_{n-\ell}}{(2\ell+1)!}+(-1)^{n+1}\frac{n}{(2n+1)!}.

Esta relación de recurrencia puede obtenerse de la relación de recurrencia de los números de Bernoulli.

La serie de constantes zeta para números pares positivos puede obtenerse del desarrollo en serie de Laurent de la función cotangente desarrollada en torno a 0.

\frac{\pi}{2}\cot(\pi x) = \frac{1}{2}x^{-1}-\frac{\pi^2}{6}x -\frac{\pi^4}{90} x^3 - \frac{\pi^6}{945}x^5 + ...

Enteros positivos impares[editar]

A los primeros números impares positivos les corresponden las siguientes constantes zeta:

\zeta(1) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots = \infty; esta es la serie armónica.
\zeta(3) = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \cdots = 1.20205\dots ; a esta constante zeta se la conoce como constante de Apéry
\zeta(5) = 1 + \frac{1}{2^5} + \frac{1}{3^5} + \cdots = 1.03692\dots
\zeta(7) = 1 + \frac{1}{2^7} + \frac{1}{3^7} + \cdots = 1.00834\dots
\zeta(9) = 1 + \frac{1}{2^9} + \frac{1}{3^9} + \cdots = 1.002008\dots

Se sabe que ζ(3) es irracional (teorema de Apéry) y que la serie ζ(2n+1) (nN) contiene infinitos valores irracionales. Existen también resultados sobre la irracionalidad de ciertos conjuntos de constantes zeta asociadas a impares positivos. Por ejemplo: Al menos uno de ζ(5), ζ(7), ζ(9), o ζ(11) es irracional.

La mayoría de las identidades mostradas más abajo fueron dadas por Simon Plouffe. Es de destacar su rápida convergencia de al menos tres dígitos por iteración, siendo usadas por ello para cálculos de gran precisión.

ζ(5)[editar]

Plouffe da las igualdades

\zeta(5)=\frac{1}{294}\pi^5 
-\frac{72}{35} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^5 (e^{2\pi n} -1)}
-\frac{2}{35} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^5 (e^{2\pi n} +1)}

y

\zeta(5)=
12 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^5 \sinh (\pi n)}
-\frac{39}{20} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^5 (e^{2\pi n} -1)}
-\frac{1}{20} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^5 (e^{2\pi n} +1)}

ζ(7)[editar]

\zeta(7)=\frac{19}{56700}\pi^7 
-2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^7 (e^{2\pi n} -1)}

Nótese que la suma es de la forma de las series de Lambert.

ζ(2n+1)[editar]

Definiendo las cantidades:

S_\pm(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s (e^{2\pi n} \pm 1)}

una serie de relaciones pueden ser dadas de la forma:

0=A_n \zeta(n) - B_n \pi^{n} + C_n S_-(n) + D_n S_+(n)\,

donde A_n, B_n, C_n y D_n son enteros positivos. Plouffe da una tabla de valores:

n A B C D
3 180 7 360 0
5 1470 5 3024 84
7 56700 19 113400 0
9 18523890 625 37122624 74844
11 425675250 1453 851350500 0
13 257432175 89 514926720 62370
15 390769879500 13687 781539759000 0
17 1904417007743250 6758333 3808863131673600 29116187100
19 21438612514068750 7708537 42877225028137500 0
21 1881063815762259253125 68529640373 3762129424572110592000 1793047592085750

Estas constantes enteras pueden ser expresadas como sumas sobre números de Bernoulli (Vepstas, 2006).

Enteros negativos[editar]

En general, para los enteros negativos, se tiene:

\zeta(-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1}

para n\ge 1.

Los "ceros triviales" de la función zeta se dan todos sobre los enteros negativos pares:

\zeta(-2n)=0.\,

Los primeras pocas constantes zeta asociadas a los menores enteros negativos impares son:

\zeta(-1)=-\frac{1}{12}
\zeta(-3)=\frac{1}{120}
\zeta(-5)=-\frac{1}{252}
\zeta(-7)=\frac{1}{240}.

Sin embargo, como ocurre con los números de Bernoulli, al aumentar n, aumenta el módulo de estas constantes zeta.


Derivadas[editar]

Las derivadas de la función zeta de Riemann para los enteros negativos pares vienen dadas por:

\zeta^{\prime}(-2n) = (-1)^n \frac {(2n)!} {2 (2\pi)^{2n}} \zeta (2n+1).

Los primeros valores son:

\zeta^{\prime}(-2) = -\frac{\zeta(3)}{4\pi^2}
\zeta^{\prime}(-4) = \frac{3}{4\pi^4} \zeta(5)
\zeta^{\prime}(-6) = -\frac{45}{8\pi^6} \zeta(7)
\zeta^{\prime}(-8) = \frac{315}{4\pi^8} \zeta(9).

También se tiene

\zeta^{\prime}(0) = -\frac{1}{2}\log(2\pi)\approx -0.918938533\ldots

y

\zeta^{\prime}(-1)=\frac{1}{12}-\log A \approx -0.165421137\ldots

donde A es la constante de Glaisher-Kinkelin.

Suma de constantes zeta[editar]

\sum_{k=2}^\infty (\zeta(k) -1) = 1

Referencias[editar]