Constante de Gelfond

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Se llama constante de Gelfond al número e^\pi  \,. Establecer si este número es trascendente o no fue uno de los 23 problemas que Hilbert propuso como especialmente importantes en el congreso de matemáticas de 1900 en París. Que este número es trascendente (y por tanto, irracional) fue demostrado por Gelfond en 1934.

Otra de las constantes relacionadas con ésta es 2^{\sqrt{2}}, conocida como constante de Gelfond-Schneider.

El valor de la constante de Gelfond es

e^\pi  \approx 23.140692632...  \,


Su valor puede hallarse mediante la fórmula recurrente

k_n=\frac{1-\sqrt{1-k_{n-1}^2}}{1+\sqrt{1-k_{n-1}^2}}

con k_0=\frac{1}{\sqrt{2}}.

Una vez llegado al término k_n deseado, basta tomar:

e^\pi \approx (k_N/4)^{-2^{1-N}}


Curiosidades[editar]

El número

e^\pi-\pi \approx 19.9991... \, está a menos de una milésima de un entero.
\pi + e^\pi  \, es irracional, probado por Yuri V. Nesterenko.

Véase también[editar]