Constante de Apéry

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En matemáticas, la constante de Apéry es un número curioso que aparece en diversas situaciones. Se define como el número ζ(3),

\zeta(3)=1+\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} +\frac{1}{4^3} + \ldots

donde ζ es la función zeta de Riemann. Y tiene un valor de

\zeta(3)=1,20205\; 69031\; 59594\; 28539\; 97381\;
61511\; 44999\; 07649\; 86292\,\ldots

Teorema de Apéry[editar]

Este valor debe su nombre a Roger Apéry (1916-1994), quien en 1977 probó que era irracional. Este resultado es conocido como "Teorema de Apéry". La prueba original es compleja y pruebas más cortas han sido halladas usando los Polinomios de Legendre.

El resultado ha permanecido bastante aislado: poco se sabe sobre ζ(n) para otros números impares n.

Representación por series[editar]

En 1772, Leonhard Euler dio la representación de la serie

\zeta(3)=\frac{\pi^2}{7}
\left[ 1-4\sum_{k=1}^\infty \frac {\zeta (2k)} {(2k+1)(2k+2) 2^{2k}} \right]

que fue posteriormente redescubierta varias veces, incluyendo Ramaswami en 1934.

Simon Plouffe dio numerosas series, que son notables en cuanto a que pueden dar varios dígitos por repetición. Estas incluyen:

\zeta(3)=\frac{7}{180}\pi^3 -2 
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n} -1)}

y

\zeta(3)= 14 
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 \sinh(\pi n)}
-\frac{11}{2}
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n} -1)}
-\frac{7}{2} 
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 (e^{2\pi n} +1)}

Muchas series sumatorias han sido encontradas, incluyendo:

\zeta(3) = \frac{8}{7} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^3}
\zeta(3) = \frac{4}{3} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(k+1)^3}
\zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{(n!)^2}{n^3 (2n)!}
\zeta(3) = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}
\frac{56n^2-32n+5}{(2n-1)^2} \frac{((n-1)!)^3}{(3n)!}
\zeta(3)=\frac{8}{7}-\frac{8}{7}\sum_{t=1}^\infty \frac{{\left( -1 \right) }^t\,2^{-5 + 12\,t}\,t\,
    \left( -3 + 9\,t + 148\,t^2 - 432\,t^3 - 2688\,t^4 + 7168\,t^5 \right) \,
    {t!}^3\,{\left( -1 + 2\,t \right) !}^6}{{\left( -1 + 2\,t \right) }^3\,
    \left( 3\,t \right) !\,{\left( 1 + 4\,t \right) !}^3}
\zeta(3) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{205n^2 + 250n + 77}{64} \frac{(n!)^{10}}{((2n+1)!)^5}

y

\zeta(3) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{P(n)}{24}
\frac{((2n+1)!(2n)!n!)^3}{(3n+2)!((4n+3)!)^3}

donde

P(n) = 126392n^5 + 412708n^4 + 531578n^3 + 336367n^2 + 104000n + 12463.\,

Algunas de estas han sido utilizadas para calcular varios millones de dígitos de la constante de Apéry.

Representación por integrales[editar]

Hay también muchas representaciones integrales para la constante de Apéry, de los mas sencillos


\zeta(3) =\frac{1}{2}\int\limits_0^\infty \!  \frac{x^2}{e^x-1}\, dx

o


\zeta(3) =\frac{2}{3}\int\limits_0^\infty \!  \frac{x^2}{e^x+1}\, dx

que se derivan trivialmente de las definiciones integrales clásicas de la función zeta de Riemann, hasta bastante complicadas, como, por ejemplo,


\zeta(3)=\pi\!\!\int\limits_{0}^{\infty} \! 
\frac{\cos(2\,\mathrm{arctg}\,x)}{\left(x^2+1\right)\big[\mathrm{ch}\frac{1}{2}\pi x\big]^2}\, dx

vea Johan Jensen,[1] o


\zeta(3) =-\frac{1}{2}\int\limits_0^1 \!\!\int\limits_0^1  \frac{\ln(xy)}{\,1-xy\,}\, dx \, dy

vea F. Beukers,[2] o


\zeta(3) =\,\frac{8\pi^2}{7}\!\!\int\limits_0^1 \!  \frac{x\left(x^4-4x^2+1\right)\ln\ln\frac{1}{x}}{\,(1+x^2)^4\,}\, dx \,=\,
\frac{8\pi^2}{7}\!\!\int\limits_1^\infty \!\frac{x\left(x^4-4x^2+1\right)\ln\ln{x}}{\,(1+x^2)^4\,}\, dx

vea Iaroslav Blagouchine.[3] Además, el vínculo a las derivadas de la función gamma


\zeta(3) = -\frac{1}{2}\Gamma'''(1)+\frac{3}{2}\Gamma'(1)\Gamma''(1)- [\Gamma'(1)]^3 = -\frac{1}{2} \, \psi^{(2)}(1)

también puede usarse para obtener muchas otras representaciones mediante conocidas formulas integrales para la función gamma y sus derivadas logarítmicas.

Referencias[editar]

  1. Johan Ludwig William Valdemar Jensen. Note numéro 245. Deuxième réponse. Remarques relatives aux réponses du MM. Franel et Kluyver. L'Intermédiaire des mathématiciens, tome II, pp. 346-347, 1895.
  2. F. Beukers A Note on the Irrationality of ζ(2) and ζ(3). Bull. London Math. Soc. 11, pp. 268-272, 1979.
  3. Iaroslav V. Blagouchine Rediscovery of Malmsten’s integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results. The Ramanujan Journal, 2013.