Constante Du Bois Reymond

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Las constantes Du Bois Reymond, (Paul David Gustav) C_n están definidas por

C_n \equiv \int_0^\infty \left|{{d\over dt}\left({\sin t\over t}\right)^n}\right|\,dt-1

Estas constantes pueden también escribirse como:

C_n = 2\sum_{k=1}^{\infty}(1+x_k^2)^{(-n/2)}

donde x_k es la k-ésima raíz de

t = \tan (t)

Además tenemos la siguiente serie

\sum_{n=1}^{\infty} {1 \over x_k^2} = {1 \over 10}

En el siguiente gráfico se ve la representación de la función

\left|{{d\over dt}\left({\sin t\over t}\right)^n}\right|

para los primeros cuatro valores de n


La integración numérica de esta función es difícil. Los cuatro primeros valores de estas constantes son:


C_1 diverge

C_2 \approx 0.1945

C_3 \approx 0.028254

C_4 \approx 0.00524054


Las constantes pares de Bois Reymond pueden ser calculadas analíticamente como polinomios en e^2.

C_2={{1\over 2}}(e^2-7)
C_4={{1\over 8}}(e^4-4e^2-25)

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