Conjunto perfecto

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En topología, un conjunto perfecto es un subconjunto cerrado tal que todos sus puntos son puntos de acumulación (es decir, el conjunto carece de puntos aislados).

Caracterización[editar]

Sea S un conjunto y S′ el conjunto de sus puntos de acumulación. Nótese que un conjunto S de un espacio topológico es cerrado cuando S' \subseteq S, es decir, cuando S contiene todos sus puntos de acumulación. Dos conjuntos S y T están separados cuando son disjuntos y cuando los conjuntos derivados, formados por sus puntos de acumulación, también son disjuntos. En esas condiciones, el conjunto S es un conjunto perfecto si S = S′. Esto equivale a la definción original, un conjunto es perfecto si es un conjunto cerrado sin puntos aislados.

Propiedades[editar]

  • Los conjuntos perfectos son importantes en las aplicaciones del teorema de categorías de Baire.
  • Un conjunto perfecto de \R^n es necesariamente no numerable.
  • El conjunto Xº de los puntos de condensación de X es un conjunto perfecto, i.e. cerrado y denso.[1]

Ejemplos[editar]

  • En \R, cualquier unión finita de intervalos cerrados de la forma [a_i,b_i]\subset R es un conjunto perfecto.
  • El conjunto de Cantor es un conjunto perfecto, y por tanto no numerable.

Referencias[editar]

  1. Ayala-Domínguez-Quintero: Elementos de topología genera ISBN 84-7829-006-0 pág 116

Bibliografía[editar]