Conjunto difuso

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Un conjunto difuso, es un conjunto que puede contener elementos de forma parcial. Es decir que la propiedad x \in A puede ser cierta con un grado de verdad.

Se mide esta posibilidad de pertenecer (o pertenencia) con un número  \mu_A(x) \, entre 0 y 1, llamado grado de pertenencia de  x \, a  ~A \, . Si es 0,  x \, no pertenece a  ~A \, , si es 1, entonces  x \in A , totalmente, y si  0 < \mu_A(x) < 1 \, ,  x \, pertenece a  ~A \, de una manera parcial.

Un subconjunto  A \, de  B \, se caracteriza, por tanto, por esta función de pertenencia \mu_A \, , de  ~B \, en  [0, 1] \, . Es preciso fijar el conjunto  ~B \, para definir la función  \mu_A \, que a su vez define  ~A \, . Por eso se habla de subconjunto difuso y no de conjunto difuso.

Nótese que  \mu_A \, es una proposición en el contexto de la lógica difusa, y no de la lógica usual binaria, que sólo admite dos valores: cierto o falso.

Historia[editar]

La teoría de los subconjuntos difusos o borrosos (palabras intercambiables en este contexto) fue desarrollada por Lofti A. Zadeh en 1965 con el fin de representar matemáticamente la imprecisión intrínseca de ciertas categorías de objetos.

Los subconjuntos difusos (o partes borrosas de un conjunto) fueron inventados para modelar la representación humana de los conocimientos (por ejemplo para medir nuestra ignorancia o una imprecisión objetiva) y mejorar así los sistemas de decisión, de ayuda a la decisión, y de inteligencia artificial.

Operaciones[editar]

En los conjuntos difusos se pueden realizar las mismas acciones que en un conjunto clásico. Siendo dos grupos difusos los siguientes:

Dos conjuntos difusos

Se define su intersección como:

Intersección de los dos conjuntos difusos

Se define su unión como:

Unión de los dos conjuntos difusos

Otros conceptos[editar]

  • El núcleo de un subconjunto difuso ~A es el conjunto de los elementos ~x que pertenecen totalmente a A, es decir que verifican \mu_A(x) = 1.
  • El soporte de subconjunto difuso A es el conjunto de los x que pertenecen, en cierta medida, a ~A. Es decir que verifican \mu_A (x) > 0.
  • Sean ~A y ~B dos partes difusas del conjunto ~C. Se dice que ~A está incluido en ~B si para todo x \in ~C, tenemos \mu_A(x) \leq \mu_B (x), es decir que los elementos de A siempre pertenecen en mayor medida a ~B que a ~A.
  • Partiendo de subconjunto difuso A, se puede definir la familia de los conjuntos clásicos ~A_t, con t variando en [0, 1], por A_t = \{x \in  ~B / \mu_A(x) \geq t\}. El conocimiento de esta familia define totalmente A.

Por lo tanto, una parte difusa equivale, en concepto de información, a una familia infinita no enumerable de partes clásicas. La teoría de los subconjuntos difusos es por lo tanto muy distinta y mucho más compleja que la teoría de los conjuntos usuales. Por ejemplo, un conjunto finito clásico tiene un número finito de subconjuntos clásicos, pero un número infinito de subconjuntos difusos.