Conjunto de Smith-Volterra-Cantor

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Después de eliminarse los intervalos negros, los puntos blancos que quedan forman un conjunto que no es denso en ninguna parte, de medida 1/2.

En matemáticas, el conjunto de Smith-Volterra-Cantor (SVC) o el conjunto gordo de Cantor (en inglés fat Cantor set) es un ejemplo de un conjunto de puntos en la recta real R que no es denso en ninguna parte (en particular, no contiene intervalos), pero que sin embargo tiene medida positiva.

Construcción[editar]

La construcción de este conjunto es similar a la del conjunto de Cantor. En particular, el proceso consiste en eliminar determinados intervalos del intervalo unidad [0, 1].

En el primer paso, se elimina el intervalo central de longitud 1/4, es decir, se quita 1/8 a cada lado del punto central, 1/2, con lo que el conjunto resultante es

\left[0, \frac{3}{8}\right] \cup \left[\frac{5}{8}, 1\right].

En cada uno de los siguientes pasos, se elimina de cada uno de los 2^{n-1} intervalos restantes un subintervalo centrado en él de longitud 1/2^{2n}. Por tanto, en el segundo paso hay que eliminar los intervalos (5/32, 7/32) y (25/32, 27/32), resultando en el siguiente conjunto:

\left[0, \frac{5}{32}\right] \cup \left[\frac{7}{32}, \frac{3}{8}\right] \cup \left[\frac{5}{8}, \frac{25}{32}\right] \cup \left[\frac{27}{32}, 1\right].

Si el proceso continúa de forma indefinida, el conjunto de Smith-Volterra-Cantor es el conjunto de los puntos que nunca han sido eliminados. La siguiente imagen muestra el conjunto inicial y cinco iteraciones de este proceso:

Smith-Volterra-Cantor set.svg

Propiedades[editar]

Por construcción, el conjunto de Smith-Volterra-Cantor no contiene intervalos. Durante el proceso, se eliminan del intervalo inicial intervalos de longitud total

 \sum_{n=0}^{\infty} 2^n(1/2^{2n + 2}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots = \frac{1}{2}.

Esto muestra que el conjunto de los puntos que quedan tiene medida positiva de 1/2.

Otros conjuntos gordos de Cantor[editar]

En general, se puede eliminar rn de cada uno de los subintervalos restantes en la n-ésima iteración del algoritmo para acabar con un conjunto similar al de Cantor. Este conjunto tendrá medida positiva si y sólo si la suma de la sucesión es menor que la medida del intervalo inicial.

Temas relacionados[editar]

Referencias[editar]