Conjetura abc

En teoría de números, la conjetura abc fue formulada por primera vez por Joseph Oesterlé y David Masser en el año 1985.

Expone que, para cualquier $\varepsilon > 0$ existe una constante $C_{\varepsilon} > 0 \,$, tal que para cada tripleta de números coprimos positivos a, b y c que satisfagan $a + b = c\,$, tenemos que:

$c < C_{\varepsilon} \operatorname{rad}(abc)^{1+\epsilon},$

donde rad(n) (el radical de n) es el producto de los distintos números primos divisores de n.

A fecha del año 2007, todavía no había sido demostrada.
Una más precisa formulación propuesta en 1996 por Alan Baker afirma que en la desigualdad, se puede reemplazar rad(abc) por ε^−ωrad(abc), donde ω es el número total de primos distintos que dividen a a, b o c. Una conjetura relacionada, formulada por Andrew Granville, afirma que en el lado derecho de la inecuación podríamos escribir O(rad(abc) Θ(rad(abc)) donde Θ(n) es el número de enteros hasta n divisibles sólo por primos que dividen a n.

Resultados parciales

1986, C.L. Stewart y R. Tijdeman:

$c < \exp{(C_1 \operatorname{rad}(abc)^{15}) },$

1991, C.L. Stewart y Kunrui Yu:

$c < \exp{ (C_2 \operatorname{rad}(abc)^{2/3+\epsilon}) },$

1996, C.L. Stewart y Kunrui Yu:

$c < \exp{ (C_3 \operatorname{rad}(abc)^{1/3+\epsilon}) },$

Donde $C_1\,$ es una constante absoluta, $C_2\,$ y $C_3\,$ son constantes positivas computables en función de $\epsilon\,$.

Véase también

• Máximo común divisor (mcd)
• Problemas no resueltos

Referencias

• http://www.math.unicaen.fr/~nitaj/abc.html
• http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdf