Condición de frontera de Dirichlet

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En matemáticas, la condición de frontera de Dirichlet (o de primer tipo) es un tipo de condición de frontera o contorno, denominado así en honor a Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859),[1] cuando en una ecuación diferencial ordinaria o una en derivadas parciales, se le especifican los valores de la solución que necesita la frontera del dominio. La cuestión de hallar las soluciones a esas ecuaciones con esta condición se le conoce como problema de Dirichlet.

En caso de una ecuación diferencial ordinaria tal como:

\frac{d^2y}{dx^2} + 3 y = 1

sobre el intervalo [0,1], las condiciones de frontera de Dirichlet toman la forma:

\begin{cases}y(0) = \alpha _1\, \\
y(1) = \alpha _2\, \end{cases}

donde \alpha _1 and \alpha _2 son números dados.

Para una ecuación diferencial en derivadas parciales sobre un dominio Ω⊂ℝⁿ tal como:

\nabla^{2} y + y = 0\,

donde ∇² es el laplaciano, las condiciones de frontera de Dirichlet toman la forma:

y(x) = f(x) \quad \forall x \in \partial\Omega

donde f es una función conocida definida sobre ∂Ω.

Las condiciones de frontera de Dirichlet son quizás las más fáciles de entender sin embargo hay otros tipos de condiciones posibles. Por ejemplo, están las condiciones de frontera de Cauchy o las mixtas que son una combinación de las condiciones de Dirichlet y las de Neumann.

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. Cheng, A. and D. T. Cheng (2005). Heritage and early history of the boundary element method, Engineering Analysis with Boundary Elements, 29, 268–302.