Clausura de Kleene

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En lógica matemática y en ciencias de la computación, la clausura de Kleene (también llamada estrella Kleene o cierre estrella) es una operación unaria que se aplica sobre un conjunto de cadenas de caracteres o un conjunto de símbolos o caracteres (alfabeto), y representa el conjunto de las cadenas que se pueden formar tomando cualquier número de cadenas del conjunto inicial, posiblemente con repeticiones, y concatenándolas entre si.

La aplicación de la clausura de Kleene a un conjunto V se denota como V*. Es muy usada en expresiones regulares y fue introducida en este contexto por Stephen Kleene (1909-1994) para caracterizar un cierto autómata.

[editar] Definición y notación

Dado

se define recursivamente

donde

Si V es un lenguaje formal, entonces la i-ésima potencia de V es la abreviatura de la concatenación de V consigo mismo i veces. Esto es, V_i puede entenderse como el conjunto de todos los strings de longitud i, formado a partir de los símbolos en V.

La definición de Kleene estrella en V es

Es decir, es la recopilación de todas los posibles strings de longitud finita generados a partir de los símbolos en V.

En algunos estudios de Lenguaje_formal, usan Kleene plus que es una variación de la operación Kleene estrella. Kleene plus omite el término V₀ en la unión. En otras palabras, Kleene plus en V es

[editar] Ejemplos

Ejemplo de clausura de Kleene aplicada a un caracter:

{"a"}* = {ε, "a", "aa", "aaa", "aaaa", "aaaaa", "aaaaaa",...}

Ejemplo de clausura de Kleene aplicada a un conjunto de cadenas:

{"ab", "c"}* = {ε, "ab", "c", "abab", "abc", "cab", "cc", "ababab", "ababc", "abcab", "abcc", "cabab", "cabc", "ccab", "ccc",...}

Ejemplo de clausura de Kleene aplicada a un conjunto de caracteres:

{'a', 'b', 'c'}* = {ε, "a", "b", "c", "aa", "ab", "ac", "ba", "bb", "bc",...}