Clasificador de subobjetos

En teoría de las categorías, un clasificador de subobjetos es un objeto especial Ω en una categoría; intuitivamente, los subobjetos de un objeto X corresponden a los morfismos de X a Ω.

Ejemplo introductorio

Como ejemplo, dentro de la categoría de conjuntos finitos y aplicaciones entre ellos podemos considerar el conjunto con sólo dos elementos $\Omega$ = {0, 1} y resulta ser un clasificador de subobjetos: a cada subconjunto U de X podemos asignar la función de X hacia $\Omega$ que envíe los elementos de U a 1 (véase función característica). Cada una de estas funciones características (de X al $\Omega$) se presentan de esta manera para exactamente un subconjunto U.

Definición

Para la definición general, comenzamos con una categoría C que tenga objeto terminal, que denotamos por 1. El objeto $\Omega$ de C es un clasificador de subobjetos para C si existe un morfismo 1 $\rightarrow \Omega$ con la propiedad siguiente:

para cada monomorfismo j: U $\rightarrow$ X hay un morfismo único g: X $\rightarrow \Omega$ tales que el diagrama conmutativo siguiente de

          U -> 1
       j: |    |
          v    v
          X -> Ω

Un diagrama pullback - es decir, U es el límite del diagrama:

             1
             |
             v
     g: X -> Ω

el morfismo g entonces se llama el morfismo clasificante para el subobjeto j.

Ejemplos adicionales

Cada topos tiene un clasificador de subobjetos.