Clasificación de discontinuidades

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Funcion continua 08.svg

Las funciones continuas son de suma importancia en matemática y en distintas aplicaciones. Sin embargo, no todas las funciones son continuas. Puede ocurrir que una función no sea continua en todo su dominio de definición. Si una función no es continua en un punto, se dice que la función tiene una discontinuidad en ese punto y que la función es discontinua. En este artículo se describe la clasificación de discontinuidades para el caso más simple de funciones de una sola variable real.

Conceptos previos[editar]

Continuidad función 28.svg

Considérese una función y= f(x), de variable real x, definida para todo valor de x excepto posiblemente para un cierto valor x= a. Es decir, f(x) está definida para x < a y para x > a. Definamos también:

Tendencia de una función[editar]

Consideremos el concepto de tendencia de la función: f(x), en la proximidad de un punto: a, antes de emplear el concepto de limite, más formal.

Diremos que una función f(x) tiende a un valor c, cuando x tiende a a por la izquierda, si a medida que x toma valores mas próximos a a, sin llegar nunca a ser a, e inferiores a a, el valor de la función f(x) se aproxima progresivamente a c, siendo c un numero real, entonces decimos que la función converge por la izquierda en c, o que la función es convergente por la izquierda.

Si cuando x se aproxima a a, sin llegar al valor de a, y con valores inferiores a a, toma valores cada vez mayores, sin poder determinar un valor real que el valor de la función no pueda superar, diremos que la función tiende a infinito cuando x tiende a a por la izquierda, del mismo modo si cuando x se aproxima progresivamente a a, sin llegar a ser a y con valores inferiores a a, el valor de la función toma valores inferiores cada vez, sin poder determinar un número real mínimo que la función no pueda superar, decimos que la función tiende a menos infinito, cuando la variable tiende a a por la izquierda. En estos dos casos se dice que la función diverge cuando x tiende a a por la izquierda.

Si cuando la variable x toma valores progresivamente mas próximos a a, pero distintos de a e inferiores a a, la función oscila entre un valor superior Ls y un valor inferior Li, siendo Ls el valor real mas pequeño que la función no puede superar cuando x tiende a a por la izquierda, y Li es el valor mas alto para el que la función permanece por encima cuando x tiende a a por la izquierda, diremos que la función oscila entre los valores Ls y Li cuando x tiende a a por la izquierda, y por lo tanto la función, en este caso no tiene limite.

Si para valores de x próximos a a, inferiores a a, no existe por no estar definida o por no existir ningún número real como resultado de f(x), diremos que f(x) no existe a la izquierda de a.


   \forall x < a
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \exists f(x)
      \left \{
      \begin{array}{l}
         \exists \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x)
         \left \{
         \begin{array}{ll}
             \underset{x \to {a^{-}}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = c
             &
             \longrightarrow \quad Convergente             
         \\ \\
             \underset{x \to {a^{-}}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \pm \infty
             &
             \longrightarrow \quad Divergente
         \end{array}
         \right . \\ \\
         \nexists \underset{x \to {a^{-}}}{L \acute{\imath}m} \; f(x)
         \longrightarrow \quad Oscilante
      \end{array}
      \right . \\ \\
      \nexists f(x)
      \longrightarrow \quad No \; existe
   \end{array}
   \right .

Por el mismo razonamiento podemos determinar la tendencia de la función f(x), cuando x tiende a a, sin llegar a ser a y con valores mayores que a, diciendo que x tiende a a por la derecha, con los mismos resultados que los obtenidos por la izquierda.


   \forall x > a
   \left \{
   \begin{array}{l}
      \exists f(x)
      \left \{
      \begin{array}{l}
         \exists \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x)
         \left \{
         \begin{array}{ll}
             \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = c
             &
             \longrightarrow \quad Convergente             
         \\ \\
             \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \pm \infty
             &
             \longrightarrow \quad Divergente
         \end{array}
         \right . \\ \\
         \nexists \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x)
         \longrightarrow \quad Oscilante
      \end{array}
      \right . \\ \\
      \nexists f(x)
      \longrightarrow \quad No \; existe
   \end{array}
   \right .

Según el caso que f(x) presente cuando x tiende a a por la derecha y por la izquierda y el valor de la función en el punto a: f(a), podremos determinar la continuidad de la función en el punto a, o los distintos tipos de discontinuidad.

Límite de una función[editar]

El límite por izquierda en a, es decir, el límite al aproximarse al valor x= a mediante valores menores de a, como:


   L^{-} =
   \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x)

El límite por derecha en a, es decir, el límite al aproximarse al valor x= a mediante valores mayores de a, como:


   L^{+} =
   \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x)

Si estos dos límites en el entorno del punto a existen y son iguales se dice que la función tiene límite en este punto.


   \left .
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L^{-} \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L^{+} \\ \\
      L^{-} = L^{+} = L
   \end{array}
   \right \}
   \quad
   \underset{x \to {a}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L

En cualquier otro caso se dice que la función no tiene limite en ese punto.

Límite superior y límite inferior[editar]

A pesar de que una función exista pero no tenga limite en un punto, podemos diferenciar un limite superior e inferior.

FunciónDiscontinua 473a.svg

Diremos que una función tiene limite superior por la izquierda, en un punto a, si existe una cuota superior: Ls, que el límite no supera cuando nos aproximamos a a por la izquierda:


   \limsup_{n\rightarrow a^-} f(x) =
   \varlimsup_{n\rightarrow a^-} f(x) =
   Ls^-

Del mismo modo diremos que una función tiene limite inferior por la izquierda, en un punto a, si existe una cuota inferior: Li, por debajo de la cual el límite no puede estar cuando nos aproximamos a a por la izquierda:


   \liminf_{n\rightarrow a^-} f(x) =
   \varliminf_{n\rightarrow a^-} f(x) =
   Li^-


FunciónDiscontinua 543a.svg

Diremos que una función tiene limite superior por la derecha, en un punto a, si existe una cuota superior: Ls, que el límite no supera cuando nos aproximamos a a por la derecha:


   \limsup_{n\rightarrow a^+} f(x) =
   \varlimsup_{n\rightarrow a^+} f(x) =
   Ls^+

Diremos también que una función tiene limite inferior por la derecha, en un punto a, si existe una cuota inferior: Li, por debajo de la cual el límite no puede estar cuando nos aproximamos a a por la derecha:


   \liminf_{n\rightarrow a^+} f(x) =
   \varliminf_{n\rightarrow a^+} f(x) =
   Li^+


FunciónDiscontinua 453a.svg

Si el límite superior por la derecha y por la izquierda coinciden, se habla sencillamente de limite superior, del mismo modo si el límite inferior por la derecha y por la izquierda se menciona el límite inferior.


   \limsup_{n\rightarrow a} f(x) =
   \varlimsup_{n\rightarrow a} f(x) =
   Ls

   \liminf_{n\rightarrow a} f(x) =
   \varliminf_{n\rightarrow a} f(x) =
   Li


FunciónDiscontinua 464.svg

Pero esta coincidencia no tiene porque darse en todos los casos.

Función continua[editar]

Si una función tiene límite en un punto y su valor coincide con el valor de la función en ese punto, entonces la función es continua en ese punto:


   \left .
   \begin{array}{r}
      \underset{x \to {a}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\
      f(a) = L
   \end{array}
   \right \}
   \quad
   Continua

en cualquier otro caso es discontinua en ese punto.

Tipos de discontinuidades[editar]

La discontinuidad de una función en un punto puede ser clasificada en:


   \left \{
   \begin{array}{l}
   Discontinua
   { \color{Red}
   \left \{
      \begin{array}{l}
         Evitable \\
         No \; evitable
            { \color{PineGreen}
            \left \{
               \begin{array}{l}
                  De \; primera \; especie
                  { \color{Blue}
                  \left \{
                     \begin{array}{l}
                        De \; salto \; finito \\
                        De \; salto \; infinito \\
                        Asint \acute{o} tica
                     \end{array}
                  \right .
                  }\\
                  
                  \\
                  De \; segunda \; especie
               \end{array}
            \right .
            } \\
      \end{array}
   \right .
   }
   \\
   Continua
   \end{array}
   \right .

Discontinuidad evitable[editar]

Una función presenta discontinuidad evitable en un punto a, si tiene límite en un punto, pero la función en ese punto tiene un valor distinto o no existe, veamos estos dos casos.

FunciónDiscontinua 112.svg

Si el límite cuando x tiende a a, es c, y el valor de la función evaluada en a es d, la función es discontinua en a.


   \left \{
   \begin{array}{l}
      \left .
      \begin{array}{l}
         \underset{x \to {a}^{-}}{\text{lím}} \; f(x) = c \\ \\
         \underset{x \to {a}^{+}}{\text{lím}} \; f(x) = c 
      \end{array}
      \right \}
      \underset{x \to {a}}{\text{lím}} \; f(x) = c 
      \\ \\
      f(a) = d
   \end{array}
   \right .


FunciónDiscontinua 113.svg

Si la función tiene por limite cuando tiende a a, pero no existe en ese punto, la función es discontinua en a.


   \left \{
   \begin{array}{l}
      \left .
      \begin{array}{l}
         \underset{x \to {a}^{-}}{\text{lím}} \; f(x) = c \\ \\
         \underset{x \to {a}^{+}}{\text{lím}} \; f(x) = c 
      \end{array}
      \right \}
      \underset{x \to {a}}{\text{lím}} \; f(x) = c 
      \\ \\
      \nexists f(a)
   \end{array}
   \right .


FunciónDiscontinua 111.svg

Sabiendo que una función es continua en un punto, cuando tiene limite en ese punto, y el valor del límite es el mismo que el valor de la función en ese punto, las dos discontinuidades anteriores se pueden evitar asignando a la función, en el punto de discontinuidad, el valor del límite en ese punto.


   \left \{
   \begin{array}{l}
      \left .
      \begin{array}{l}
         \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = c \\ \\
         \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = c 
      \end{array}
      \right \}
      \underset{x \to {a}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = c 
      \\ \\
      f(a) = c
   \end{array}
   \right .


Discontinuidad esencial o no evitable[editar]

Se dice que una función presenta una discontinuidad esencial cuando se produce algunas de las siguientes situaciones:

Discontinuidad de primera especie: si los límites laterales son distintos, o al menos uno de ellos diverge.
Discontinuidad de segunda especie: si la función, al menos en uno de los lados del punto, no existe o no tiene limite.

Discontinuidad de primera especie[editar]

En este tipo de discontinuidad existen tres tipos:

De salto finito[editar]

Existen el límite por la derecha y por la izquierda del punto, su valor es finito, pero no son iguales:

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama salto finito, y el salto viene dado por:


   Salto =
   \Big| \lim_{x\to {a}^{-}}f(x)-\lim_{x\to {a}^{+}}f(x) \Big|
FunciónDiscontinua 124.svg

Si la función tiende a c, cuando x tiende a a por la izquierda, y tiende a d cuando lo hace por la derecha, en el punto x = a, se presenta un salto, independientemente del valor de la función en ese punto.


   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = c \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = d \\ \\
      \nexists f(a)
   \end{array}
   \right .


Así podemos ver que son discontinuidades de salto finito:

FunciónDiscontinua 121.svg

   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = c \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = d \\ \\
      f(a) = c
   \end{array}
   \right .


FunciónDiscontinua 122.svg

   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = c \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = d \\ \\
      f(a) = d
   \end{array}
   \right .


FunciónDiscontinua 123.svg

   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = c \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = d \\ \\
      f(a) = e
   \end{array}
   \right .


De salto infinito[editar]

Si uno de los límites laterales es infinito y el otro finito, tanto si el límite por la izquierda es finito y el de la derecha infinito:


   \left .
   \begin{array}{c}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \pm \infty
   \end{array}
   \right \}
   \quad
   Discontinuidad \; de \; salto \; infinito

Así podemos ver los casos:

FunciónDiscontinua 133.svg

   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = c \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = + \infty
   \end{array}
   \right .


FunciónDiscontinua 143.svg

   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = c \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = - \infty
   \end{array}
   \right .



como en el caso de que el límite por la izquierda sea infinito y por la derecha finito:


   \left .
   \begin{array}{c}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \pm \infty \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = L
   \end{array}
   \right \}
   \quad
   Discontinuidad \; de \; salto \; infinito

Donde se puede ver:

FunciónDiscontinua 213.svg

   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = + \infty \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = c
   \end{array}
   \right .


FunciónDiscontinua 313.svg

   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = - \infty \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = c
   \end{array}
   \right .



Se dice que la discontinuidad es de salto infinito.

Discontinuidad asintótica[editar]

Si los dos límites laterales de la función en el punto x= a son infinitos:


   \left .
   \begin{array}{c}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \pm \infty \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = \pm \infty
   \end{array}
   \right \}
   \quad
   Discontinuidad \; asint \acute{o} tica

A este tipo de discontinuidad de primera especie se le llama discontinuidad asintótica, siendo x= a la asíntota.

FunciónDiscontinua 222.svg

   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = + \infty \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = + \infty
   \end{array}
   \right .


FunciónDiscontinua 232.svg

   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = + \infty \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = - \infty
   \end{array}
   \right .


FunciónDiscontinua 322.svg

   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = - \infty \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = + \infty
   \end{array}
   \right .


FunciónDiscontinua 332.svg

   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = - \infty \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = - \infty
   \end{array}
   \right .


Discontinuidad de segunda especie[editar]

Si la función no existe en uno de los lados del punto, o no existen alguno, o ambos, de los límites laterales de la función en ese punto, se dice que la función presenta una discontinuidad de segunda especie en ese punto.

FunciónDiscontinua 173.svg

   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = c \\ \\
      \forall x > a: \; \nexists f(x)
   \end{array}
   \right .


FunciónDiscontinua 513.svg

   \left \{
   \begin{array}{l}
      \forall x < a: \; \nexists f(x) \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = c
   \end{array}
   \right .


Un caso muy particular de discontinuidad de segunda especie es una función definida solo en un punto.

FunciónDiscontinua 571.svg

   \left \{
   \begin{array}{l}
      \left .
      \begin{array}{l}
         \forall x < a: \; \nexists f(x) \\ \\
         \forall x > a: \; \nexists f(x)
      \end{array}
      \right \}
      \forall x \ne a: \; \nexists f(x) \\ \\
      f(a) = c
   \end{array}
   \right .


Si la función existe, pero no tiene limite:

FunciónDiscontinua 153.svg

   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = c \\ \\
      \nexists \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x)
   \end{array}
   \right .


FunciónDiscontinua 413.svg

   \left \{
   \begin{array}{l}
      \nexists \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) \\ \\
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = c
   \end{array}
   \right .


FunciónDiscontinua 453.svg

   \left \{
   \begin{array}{l}
      \nexists \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) \\ \\
      \nexists \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x)
   \end{array}
   \right .


Caso de continuidad[editar]

FunciónDiscontinua 111.svg

Una función y= f(x) es continua en un punto a, si los límites por la derecha y la izquierda son iguales, y coinciden con el valor de la función en ese punto.


   \left \{
   \begin{array}{l}
      \left .
      \begin{array}{l}
         \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = c \\ \\
         \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = c 
      \end{array}
      \right \}
      \underset{x \to {a}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = c 
      \\ \\
      f(a) = c
   \end{array}
   \right .


Continuidad lateral[editar]

Una función a pesar de ser discontinua en un punto, puede tener lo que se denomina continuidad lateral.

Continua por la izquierda[editar]

FunciónDiscontinua 171.svg

Una función f(x) se dice que tiene continuidad por la izquierda de un punto a, si el límite por la izquierda coincide con el valor de la función en a.


   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{-}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = c \\ \\
      f(a) = c
   \end{array}
   \right .


Continua por la derecha[editar]

FunciónDiscontinua 511.svg

Una función f(x) se dice que tiene continuidad por la derecha de un punto a, si el límite por la derecha coincide con el valor de la función en a.


   \left \{
   \begin{array}{l}
      \underset{x \to {a}^{+}}{L \acute{\imath}m} \; f(x) = c \\ \\
      f(a) = c
   \end{array}
   \right .


Ejemplos[editar]

Función del ejemplo 1, f_1(x): una discontinuidad evitable.
  • 1. Sea la función
f_1(x)=\left\{\begin{matrix}x^2 & \mbox{ para } x<1 \\ 0 & \mbox { para } x=1 \\ 2-x&  \mbox{ para } x>1\end{matrix}\right.

El punto x_0=1 es una discontinuidad evitable. Esta función puede hacerse contínua simplemente redefiniendo la función en este punto para que valga f_1(x_0)=1.

Función del ejemplo 2, f_2(x): una discontinuidad por salto.
  • 2. Sea la función
f_2(x)=\left\{\begin{matrix}x^2 & \mbox{ para } x<1 \\ 0 & \mbox { para } x=1 \\ 2-(x-1)^2& \mbox{ para } x>1\end{matrix}\right.

El punto x_0=1 es una discontinuidad por salto.

Función del ejemplo 3, f_3(x): una discontinuidad esencial.
  • 3. Sea la función
f_3(x)=\left\{\begin{matrix}\sin\frac{5}{x-1} & \mbox{ para } x<1 \\ 0 & \mbox { para } x=1 \\ \frac{0.1}{x-1}& \mbox{ para } x>1\end{matrix}\right.

El punto x_0=1 una discontinuidad esencial, para lo cual hubiese bastado que uno de los dos límites laterales no exista o sea infinito (en este caso se cumple para ambos límites laterales: para el límite por izquierda y para el límite por derecha).

  • 4. Funciones que no son continuas en ninguna parte

Existen funciones que no son continuas en ningún punto. La más conocida es la función característica de Q, es decir la función que toma como valor 1 cuando x pertenece al conjunto de los racionales, y 0 si no.

Obviamente, no se puede dibujar su curva, que está constituida por una infinidad de puntos en la recta y= 0, y una infinidad (menor) de puntos en la recta y= 1.

  • 5. Discontinuidad evitable.

Una función presenta un punto de Discontinuidad evitable si en ese punto se cumple que:

  1. \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)
  2. \nexists f(a)

Pueden ser transformadas en otra función continua, dándole a f(a) el valor adecuado que la hace continua. Si modificamos una función obtenemos otra función, no la misma, por ello se dice que son evitables.

ejemplo:
Función Continua 005.svg
Función Continua 006.svg

La función:

 f(x)= \frac{x^2 - 4}{x - 2}

Presenta los siguientes límites por la izquierda y por la derecha:

 \lim_{x \to 2^-} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4
 \lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4

pero la función para x= 2 no esta definida:

 f(2)= \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{0}{0}

en este un caso de discontinuidad evitable y además de un modo sencillo:

 f(x)= \frac{x^2 - 2^2}{x - 2}

lo que es lo mismo:

 f(x)= \frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2}

simplificando:

 f(x)= (x + 2) \,

esta función es continua para todo x de valor real y es equivalente a la primera función, excepto en que la primera es discontinua para x= 2.

  • 6. Discontinuidad de primera especie
Función Continua 022.svg

Una función presenta una discontinuidad de primera especie en un punto x1, si en este punto se cumple que:

 \lim_{x \to 1^-} f(x) \ne \lim_{x \to 1^+} f(x)

se produce un salto en los extremos.

Un ejemplo de función con discontinuidad de este estilo es por ejemplo:

f(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(kx)}{k}

Que es continua (y diferenciable) en todos los puntos, excepto en los puntos \scriptstyle x_n = 2n\pi con \scriptstyle n \in \mathbb{Z}.

  • 7. Discontinuidad de segunda especie
Función Continua 044.svg

Son las que tienen puntos para los que existe solo uno de los límites laterales o ninguno.

\nexists\lim_{x \to x_1^-} f(x) o \nexists\lim_{x \to x_1^+}f(x)

Por ejemplo la función  f(x) = \sqrt{x} . Ésta tiene una discontinuidad de segunda especie en 0 pues no existe el límite:

 \lim_{x \to 0^-} f(x)


  • 8. Discontinuidad asintótica
Función Continua 031.svg

La discontinuidad viene marcada por una asíntota vertical. Se cumple lo siguiente:

\lim_{x \to 1^-} f(x) = \pm \infty
 \lim_{x \to 1^+} f(x) = \pm \infty

En la gráfica podemos ver la función:


   y =
   \cfrac{1}{x-x_1}

Donde  x_1 es un valor conocido, que presenta una asíntota vertical para  x = x_1


Véase también[editar]

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