Cardinal límite

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En teoría de conjuntos, los cardinales límite son un tipo especial de cardinales:

  • Un número cardinal λ es un cardinal límite débil si λ no es ni un cardinal sucesor ni cero. Esto significa que uno no puede "llegar" a λ por un proceso reiterado de buscar el número cardinal siguiente (por esa razón todos los números naturales no son cardinales límites, ya que se puede llegar a ellos a partir de un número anterior reiterativamente). Estos cardinales a veces se llaman simplemente "cardinales límites" cuando el contexto está claro.
  • Un número cardinal es un cardinal límite fuerte si λ no puede ser alcanzado mediante aplicaciones reiteradas de exponenciación. Esto significa que λ > 0 y que, para todo κ < λ, 2κ < λ. Todo cardinal límite fuerte es también un cardinal límite débil, porque κ+ ≤ 2κ para cualquier cardinal κ, donde κ+ designa el sucesor del cardinal κ.

El primer cardinal infinito, \aleph_0 (álef 0), es un cardinal límite fuerte y por tanto también un cardinal límite débil.

Construcciones con cardinales límite[editar]

Una manera de construir cardinales límite es mediante la operación de unión. Por ejemplo, álef omega \aleph_{\omega} es un cardinal límite débil, definido como la unión de todos los álef más pequeños que él (recuérdese que un número cardinal puede concebirse como un conjunto transitivo); y en general \aleph_{\lambda} para cualquier ordinal límite es un cardinal límite débil.

La función ב puede usarse para obtener cardinales límite fuertes. Esta función se define como una aplicación de los ordinales en los cardinales mediante la siguiente definición recursiva:

\beth_{0} = \aleph_0,
\beth_{\alpha+1} = 2^{\beth_{\alpha}}, (es el ordinal no numerable más pequeño)
Si λ es un oridinal límite, \beth_{\lambda} = \bigcup \{ \beth_{\alpha} : \alpha < \lambda\}.

El cardinal

\beth_{\omega} = \bigcup \{ \beth_{0}, \beth_{1}, \beth_{2}, \ldots \} = \bigcup_{n < \omega}  \beth_{n}

es un cardinal límite fuerte de cofinalidad ω. Más en general, dado cualquier ordinal α, el cardinal

\beth_{\alpha+\omega} = \bigcup_{n < \omega} \beth_{\alpha+n}

es un cardinal límite fuerte. Y por tanto, existen cardinales límite fuerte arbitrariamente grandes.


Véase también[editar]

Referencias[editar]

Bibliografía[editar]

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