Axiomas de Hilbert

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Los axiomas de Hilbert son un conjunto de 20 (originalmente 21) hipótesis propuestas por David Hilbert en 1899 como el fundamento para un tratamiento moderno de la geometría euclídea. Otras axiomatizaciones modernas bien conocidas de la geometría euclídea son las debidas a Alfred Tarski y a George Birkhoff.

Los axiomas[editar]

El sistema axiomático de Hilbert se compone de nueve nociones primitivas: Tres términos primitivos:

puntolínea rectaplano,

y seis relaciones primitivas:

  • Orden, una relación ternaria entre puntos;
  • Pertenencia, tres relaciones binarias, una de ellas entre puntos y rectas, otra entre puntos y planos, y otra entre rectas y planos;
  • Congruencia, dos relaciones binarias, una entre segmentos y otra entre ángulos, denotadas por \cong.

Nótese que los segmentos y los ángulos (así como también los triángulos) no son nociones primitivas, sino que se definen en términos de puntos y rectas utilizando las relaciones de orden y pertenencia. Todos los puntos, rectas y planos en los subsecuentes axiomas son distintos salvo que se indique lo contrario.

I. Combinación[editar]

  1. Dos puntos distintos A y B determinan una única recta a. Denotamos AB=a ó BA=a. En lugar de "determinan", puede decirse: "A está en a", "A es un punto de a", "a pasa por A y B", "a une A con B",etc. Si A está en a y al mismo tiempo en otra recta b, se dice también "Las rectas a y b tienen el punto A en común", etc.
  2. Dos puntos cualquiera de una recta la determinan por completo; es decir, si AB=a y AC=a, donde en general \scriptstyle B\neq C, entonces BC=a a su vez.
  3. Tres puntos A, B y C no situados en una misma recta determinan un plano \alpha. Se denota ABC=\alpha, y se dice "A, B y C yacen en \alpha", etc.
  4. Tres puntos cualesquiera A, B y C del plano \alpha no situados en una misma recta determinan por completo a \alpha.
  5. Si dos puntos A, B de la recta a yacen en el plano \alpha, entonces todo punto de a yace en \alpha. En tal caso se dice "la recta a yace en el plano \alpha", etc.
  6. Si dos planos \alpha, \beta tienen un punto A en común, entonces tienen al menos otro punto B en común.
  7. En cada recta hay al menos dos puntos; en cada plano hay al menos tres puntos no situados en la misma recta; y existen al menos cuatro puntos no situados en un mismo plano.

II. Orden[editar]

  1. Si un punto B está entre los puntos A y C, también está entonces entre C y A, y existe una recta que contiene a los tres.
  2. Si A y C son dos puntos de una recta, existe al menos otro punto B entre A y C, y al menos un punto D de tal manera que C está entre A y D.
  3. Dados tres puntos en una recta, sólo uno de ellos está entre los otros dos.

Dada una pareja de puntos A y B, puede hablarse entonces del segmento AB. Los puntos del segmento AB son todos aquellos que están entre A y B. Estos dos son los extremos del segmento.

  1. Axioma de Pasch: Sean A, B y C tres puntos no situados en la misma recta y sea a una recta contenida en el plano ABC, que no pasa por ninguno de los tres puntos mencionados. Entonces, si a pasa por algún punto del segmento AB, entonces pasa también por algún punto o bien del segmento BC o bien del segmento AC.

Puede probarse entonces que dadas una recta a y un punto A en ella, puede dividirse la recta en dos semirayos, disjuntos entre sí, que emanan de A, tales que su unión constituye toda la recta a excepción de A. De igual modo, dados un plano \alpha y una recta a en el, pueden distinguirse en él dos partes disjuntas, los lados de \alpha respecto a a, donde de nuevo su unión constituye todo el plano a excepción de a.

III. Paralelas[editar]

  1. En un plano \alpha puede encontrarse una única recta b que pase por un punto dado A, el cual no pertenece a una recta dada a, de forma que a y b no tengan ningún punto en común. Está recta se llama la paralela a a que pasa por A.

IV. Congruencia[editar]

Se define un ángulo como una pareja de semirayos \scriptstyle\angle(h,k) yaciendo en un plano \alpha que emanan del mismo punto O. Se demuestra que puede dividirse entonces el plano en dos regiones: el interior y el exterior de \scriptstyle\angle(h,k), donde h y k son los lados del ángulo y O su vértice. El segmento entre dos puntos cualesquiera del interior está contenido por completo en dicha región. Esto no se cumple para una pareja de puntos cualesquiera en el exterior.

Un triángulo queda definido por tres segmentos de la forma AB, BC y CA. Dichos segmentos son los lados del triángulo, y los tres puntos A, B y C son su vértices. El triángulo divide el plano definido por sus tres vértices en interior y exterior, con las mismas propiedades que en caso de los ángulos. Al ángulo definido por los dos semirayos que salen de A y que pasan por B y C respectivamente se le denota por \scriptstyle\angle BAC, y su interior contiene todos los puntos del interior del triángulo ABC.

  1. Si A, B son dos puntos de la recta a, y A' es un punto sobre la recta a' (sea esta igual a a o no), se tiene que, de un lado cualquiera de A' en la recta a', existe un único B' tal que el segmento AB es congruente con el segmento A'B', y lo denotamos por \scriptstyle AB\cong A'B'. Todo segmento es congruente consigo mismo.
  2. Si un segmento AB es congruente con el segmento A'B' y también con el segmento A''B'', entonces estos dos últimos son congruentes entre sí (la congruencia entre segmentos es transitiva).
  3. Sean AB y BC dos segmentos de la misma recta sin puntos en común a excepción de B, y sean además A'B' y B'C' dos segmentos de la recta a' (sea ésta igual o no a a) sin más puntos en común que B'. Entonces, si \scriptstyle AB\cong A'B' y \scriptstyle BC\cong B'C', se tiene que \scriptstyle AC\cong A'C'.
  4. Sea un ángulo \scriptstyle\angle(h,k) en el plano \alpha y sea un recta a' en el plano \alpha'. Supóngase que en el plano \alpha', se escoge uno de los lados respecto a a'. Sea un semirayo h' de a' que emana de un punto O' de dicha recta. Entonces, en el plano \alpha' existe un único semirayo k' que sale de O' de forma que \scriptstyle\angle(h,k) es congruente con \scriptstyle\angle(h',k'), y de forma que todos los puntos del interior de \scriptstyle\angle(h',k') están en el lado escogido de \alpha'. Se denota por \scriptstyle\angle(h,k)\cong \angle(h',k'). Todo ángulo es congruente consigo mismo.
  5. Si el ángulo \scriptstyle\angle(h,k) es congruente con el ángulo \scriptstyle\angle(h',k') y con el ángulo \scriptstyle\angle(h'',k''), entonces estos dos son congruentes entre sí.
  6. Si dados dos triángulos ABC y A'B'C' se tiene \scriptstyle AB\cong A'B', \scriptstyle AC\cong A'C', \scriptstyle\angle BAC\cong\angle B'A'C', entonces se tiene a su vez \scriptstyle \angle ABC\cong \angle A'B'C' y \scriptstyle\angle ACB\cong\angle A'C'B'.

V. Continuidad[editar]

  1. Axioma de Arquímedes. Sea A_1 un punto cualquiera de una recta, situado entre los puntos arbitrarios A y B de la misma. Tómense los puntos A_2, A_3,... de tal manera que A_1 esté entre A y A_2, A_2 esté entre A_1 y A_3,etc. Supóngase además que los segmentos AA_1, A_1A_2, A_2A_3,... son todos congruentes entre sí. Entonces, en esta serie existe siempre un cierto A_n tal que B está entre A y A_n.

Axioma de completitud[editar]

Al sistema de puntos, rectas y planos, no pueden añadirse otros elementos de manera que el sistema resultante forme una geometría nueva, obedeciendo todos los axiomas de los cinco grupos. En otras palabras, los elementos de la geometría forman un sistema que no es susceptible de extensión, tomando los cinco grupos de axiomas como válidos.

Axioma 21[editar]

Hilbert introdujo un axioma más que reza:

II.4. Teorema de Pasch. Pueden escogerse cuatro puntos cualesquiera A, B, C y D de una recta de forma que B esté entre A y C y entre A y D, y que C esté entre A y D y entre B y D.

R. L. Moore demostró que este axioma es redundante en 1902.

Referencias[editar]