Axioma del par

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En teoría de conjuntos, el axioma del par es un axioma que asegura la existencia de un conjunto que contiene como elementos dos objetos cualesquiera dados previamente.

Enunciado[editar]

El axioma del par afirma que dados dos conjuntos (u otros objetos de la teoría), existe un conjunto con exactamente esos elementos. Su enunciado formal es:

Axioma del par

\forall A\forall B,\,\exists X:\forall\,W\in X,\ W=A\,\vee\, W=B

El axioma de extensionalidad asegura que este conjunto es único, por lo que se demuestra la existencia del conjunto {A, B}, definido como:

\{A,B\} = X|\forall W\in X,\ W=A\vee W=B

Consistencia relativa[editar]

El axioma del par aparece en los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel y de la teoría de Neumann-Bernays-Gödel. Sin embargo, es demostrable a partir del resto de axiomas, en particular del axioma de reemplazo junto con el axioma del conjunto potencia y el axioma del conjunto vacío, por ejemplo.

Referencias[editar]

  • Tourlakis, George (2011). Lectures in Logic and Set Theory: Volume 2, Set Theory (en inglés). Cambridge University Press. ISBN 9780521168489.  Discute el axioma del par en III.5.
  • Shoenfield, J.R. (1977). «B.1. Axioms of set theory». En Jon Barwise. Handbook of mathematical logic (en inglés). Elsevier Science. ISBN 0-444-86388-5.  En B.1.4 construye los pares no ordenados.