Anexo:Series matemáticas

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Esta lista de series matemáticas contiene fórmulas para sumatorias finitas e infinitas. Puede ser usada junto con otras herramientas para evaluar sumatorias.

Sumatoria de potencias[editar]

  • \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}\,\!
  • \sum_{i=p}^q i = p+(p+1)+(p+2)+(p+3)+\ldots+(q-1)+q= \frac{(p+q)(q-p+1)}{2} \,\!
  • \sum_{i=1}^n 2i = 2+4+6+8+10+12+14+16+\ldots+(2n-2)+2n= n(n+1) \,\!
  • \sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n^3}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{6}  \,\!
  • \sum_{i=1}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^4}{4} + \frac{n^3}{2} + \frac{n^2}{4} = \left[\sum_{i=1}^n i\right]^2\,\!
  • \sum_{i=1}^{n} i^{4} = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}\,\!
  • \sum^{n}_{i=1} i^{5} = \frac{n^{2}(n+1)^{2}(2n^{2}+2n-1)}{12}\,\!
  • \sum^{n}_{i=1} i^{6} = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^{4}+6n^{3}-3n+1)}{42}\,\!
  • \sum^{n}_{i=1} i^{7} = \frac{n^{2}(n+1)^{2}(3n^{4}+6n^{3}-n^{2}-4n+2)}{24}\,\!
  • \sum^{n}_{i=1} i^{8} = \frac{n(n+1)(2n+1)(5n^{6}+15n^{5}+5n^{4}-15n^{3}-n^{2}+9n-3)}{24}\,\!
  • \sum^{n}_{i=1} i^{9} = \frac{n^{2}(n+1)^{2}(n^{2}+n-1)(2n^{4}+4n^{3}-n^{2}-3n+3)}{20}\,\!
  • \sum^{n}_{i=1} i^{10} = \frac{n(n+1)(2n+1)(n^{2}+n-1)(3n^{6}+9n^{5}+2n^{4}-11n^{3}+3n^{2}+10n-5)}{66}\,\!
  • \sum^{n}_{i=1} i^{11} = \frac{n^{2}(n+1)^{2}(2n^{8}+8n^{7}+4n^{6}-16n^{5}-5n^{4}+26n^{3}-3n^{2}-20n+10)}{24}\,\!
  • \sum^{n}_{i=1} i^{12} = \frac{ n(n+1)(2n+1)(105n^{10}+525n^{9}+525n^{8}-1050n^{7}-1190n^{6}+2310n^{5}+1420n^{4}-3285n^{3}-287n^{2}+2073n-691)     }{2730}\,\!
  • \sum_{i=0}^n i^s = \frac{(n+1)^{s+1}}{s+1} + \sum_{k=1}^s\frac{B_k}{s-k+1}{s\choose k}(n+1)^{s-k+1}\,\!
donde B_k es el k-ésimo número de Bernoulli.
  • \sum_{i=1}^\infty i^{-s} = \prod_{p \text{ primo}} \frac{1}{1-p^{-s}} = \zeta(s)\,\!
donde \zeta(s) es la función zeta de Riemann.

Series relacionadas con la función zeta de Riemann:

Otras sumas numéricas son[1]

  • \sum_{i=1}^n (2i-1) = 1 + 3+5+7+9+\ldots+(2n-3)+(2n-1)= n^{2} \,\!
  • \sum_{i=1}^n (2i-1)^{2} = 1^2 + 3^2+5^2+7^2+9^2+\ldots+(2n-3)^2+(2n-1)^2= \frac{n(4n^2-1)}{3} \,\!
  • \sum_{i=1}^n (2i-1)^3 = 1^3 + 3^3+5^3+7^3+9^3+\ldots+(2n-3)^3+(2n-1)^3= n^2(2n^2-1) \,\!

Serie de potencias[editar]

Sumatoria infinita (para |x| < 1) Sumatoria finita
\sum_{i=0}^\infty x^i= \frac{1}{1-x}\,\! \sum_{i=0}^n x^i = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} = 1+\frac{1}{r}(1-\frac{1}{(1+r)^n}) donde r>0 , x=\frac{1}{1+r}.\,\!
\sum_{i=0}^\infty x^{2i}= \frac{1}{1-x^2}\,\!
\sum_{i=1}^\infty i x^i = \frac{x}{(1-x)^2}\,\! \sum_{i=1}^n i x^i = x\frac{1-x^n}{(1-x)^2} - \frac{n x^{n+1}}{1-x}\,\!
\sum_{i=1}^{\infty} i^2 x^i =\frac{x(1+x)}{(1-x)^3}\,\! \sum_{i=1}^n i^2 x^i = \frac{x(1+x-(n+1)^2x^n+(2n^2+2n-1)x^{n+1}-n^2x^{n+2})}{(1-x)^3} \,\!
\sum_{i=1}^{\infty} i^3 x^i =\frac{x(1+4x+x^2)}{(1-x)^4}\,\!
\sum_{i=1}^{\infty} i^4 x^i =\frac{x(1+x)(1+10x+x^2)}{(1-x)^5}\,\!
\sum_{i=1}^{\infty} i^k x^i
 = \operatorname{Li}_{-k}(x),\,\! donde Lis(x) es el polilogaritmo de x.

Denominadores simples[editar]

  • \sum^{\infty}_{n=1} \frac{x^n}n = \log_e\left(\frac{1}{1-x}\right) \quad\mbox{ para } |x|\le 1, \, x\not= 1\,\!
  • \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots = \arctan(x)\,\!
  • \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} = \mathrm{arctanh} (x) \quad\mbox{ para } |x| < 1\,\!
  • \sum^{\infty}_{n=1} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\,\!
  • \sum^{\infty}_{n=1} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}\,\!
  • \sum^{\infty}_{n=1} \frac{y}{n^2+y^2} = -\frac{1}{2y}+\frac{\pi}{2}\coth(\pi y)

Denominadores factoriales[editar]

Muchas series de potencias originadas del Teorema de Taylor tienen un coeficiente conteniendo un factorial.

  • \sum^{\infty}_{i=0} \frac{x^i}{i!} = e^x


  • \sum^{\infty}_{i=0} \frac{(-1)^i}{(2i+1)!} x^{2i+1}=  x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots = \sin x
  • \sum^{\infty}_{i=0} \frac{(-1)^i}{(2i)!} x^{2i} =  1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \cos x
  • \sum^{\infty}_{i=0} \frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!} = \sinh x
  • \sum^{\infty}_{i=0} \frac{x^{2i}}{(2i)!} = \cosh x

Denominadores factoriales modificados[editar]

  • \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} = \arcsin x\quad\mbox{ para } |x| < 1\!
  • \sum^{\infty}_{i=0} \frac{(-1)^i (2i)!}{4^i (i!)^2 (2i+1)} x^{2i+1} = \mathrm{arcsinh}(x) \quad\mbox{ para } |x| < 1\!

Serie binomial[editar]

La serie binomial (incluye la raíz cuadrada para \alpha = 1/2 y la serie geométrica infinita para \alpha = -1):

raíz cuadrada:

  • \sqrt{1+x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)n!^24^n}x^n \quad\mbox{ para } |x|<1\!

serie geométrica:

  • (1+x)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n \quad\mbox{ para } |x|<1

Forma general:

  • (1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty {\alpha \choose n} x^n\quad\mbox{ para todo } |x| < 1 \mbox{ y todo complejo } \alpha\!
con coeficientes binomiales generalizados
{\alpha\choose n} = \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}\!

Coeficientes binomiales[editar]

  • \sum_{i=0}^n {n \choose i} = 2^n
  • \sum_{i=0}^n {n \choose i}a^{(n-i)} b^i = (a + b)^n
  • \sum_{i=0}^n (-1)^i{n \choose i} = 0
  • \sum_{i=0}^n {i \choose k} = { n+1 \choose k+1 }
  • \sum_{i=0}^n {k+i \choose i} = { k + n + 1 \choose n }
  • \sum_{i=0}^r {r \choose i}{s \choose n-i} = {r + s \choose n}

Funciones trigonométricas[editar]

La sumatoria de senos y cosenos se originan en la serie de Fourier.

  • \sum_{i=1}^n \sin\left(\frac{i\pi}{n}\right) = 0
  • \sum_{i=1}^n \cos\left(\frac{i\pi}{n}\right) = 0

Sin clasificar[editar]

  • \sum_{n=b+1}^{\infty} \frac{b}{n^2 - b^2}

Véase también[editar]

Notas[editar]

  1. Bronshtein, I, y otro (1982). Manual de Matemáticas para ingenieros y estudiantes. Mir. p. 696. 
  2. a b c d Theoretical computer science cheat sheet

Referencias[editar]