Anexo:Pequeños cuadrados latinos y cuasigrupos

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A continuación se exponen algunas consideraciones acerca de cuadrados latinos y cuasigrupos de orden bajo. El orden se refiere al lado del cuadrado o al número de elementos del cuasigrupo.

Orden 1[editar]

De orden 1 hay un cuadrado latino con el simbolo a y un cuasigrupo con un conjunto subyacente {a}; que se trata de un grupo trivial

Orden 2[editar]

De orden 2 existen dos cuadrados latinos con los simbolos a y b

  ab   ba
  ba   ab

Que difieren sólo en la designación de los elementos, es decir, en una permutación de a y b. Por lo tanto son la misma clase isotopica.

Cada uno puede ser tomado como una tabla de multiplicar con una cabecera de fila igual a "ab" o "ba" y una cabecera de columna igual a "ab" o "ba". Estos resultados son equivalentes a los grupos Z2 con a=e y con b=e

Orden 3[editar]

Hay 12 cuadrados latinos de orden 3 con los simbolos a,b y c; que se reducen a dos si ponemos siempre en la fila superior la permutación abc.

  abc   abc
  bca   cab
  cab   bca

que sólo se diferencian por el orden de las filas. Por lo tanto sólo hay una clase de isotopía

Cada uno de los 12 cuadrados es una tabla de multiplicar con una fila de encabezamiento "abc" y una columna de encabezmiento igual (las otras ordenaciones de las filas y columnas de los encabezamientos dan otras notaciones del mismo cuasigrupo). De estos 12 cuasigrupos, tres son un grupo: el grupo de Z3 con un a = e, b = e y c = e. Reasignado las letras a los otros dos elementos (los que no son el neutro) nos da otro grupo, es un automorfismo.

Orden 4[editar]

Hay 576 cuadrados latinos de orden 4 con los simbolos a,b,c y d; que se reducen a 24, si ponemos siempre en la fila superior la permutación abcd; que a su vez se reducen a cuatro si solamente consideramos la permutación abcd para la primera columna.

 abcd   abcd   abcd   abcd
 badc   badc   bcda   bdac
 cdab   cdba   cdab   cadb
 dcba   dcab   dabc   dcba

Estos cuatro cuadrados pertenecen solamente a dos clases isotopicas, ya que los tres últimos son de la misma clase.

De los 576 cuadrados, que se corresponden con la tabla de multiplicar de un cuasigrupo, 144 pertenecen a la primera clase isotópica y 432 a la segunda.

De los 576 cuadrados latinos, 288 son soluciones de la versión 2 × 2 del Sudoku, a veces llamado Shi Doku [1]. Que con abcd en la primera fila y en la primera columna se reducen a 2.

Orden 5[editar]

Hay 161.280 cuadrados latinos de orden 5 con los simbolos a, b, c, d y e. De ellos 280 son bucles el quintuplo del número de cuadrados latinos reducidos (56). 30 de estos son grupos, forman todas las versiones del grupo cíclico de orden 5, y se diferencian entre si por la elección de cual de los cinco elementos es el neutro, y por la elección del cuadrado y el cubo de un elemto dado que no sea el neutro. El número 30 es 5! dividido por 4, el orden del grupo automorfico.

Un ejemplo de cuadrado latino reducido es:

\begin{bmatrix}
 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
 2 & 4 & 1 & 5 & 3 \\
 3 & 5 & 4 & 2 & 1 \\
 4 & 1 & 5 & 3 & 2 \\
 5 & 3 & 2 & 1 & 4
\end{bmatrix}.

Véase también[editar]

Anexo:Grupos finitos de orden bajo

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