Anexo:Fractales por dimensión de Hausdorff

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Según Falconer, una de las características esenciales de un fractal es que su dimensión de Hausdorff (δ) es estrictamente mayor que su dimensión topológica.[1] Aquí se muestra una lista de fractales ordenados de forma creciente por su dimensión de Hausdorff, con el objetivo de visualizar qué significa que un fractal tenga una dimensión mayor o menor.

Fractales deterministas[editar]

δ
(valor exacto)
δ
(valor)
Nombre Ilustración Observaciones
\textstyle{\frac {\log(2)}{\log(\delta)}?} 0,4498? Bifurcación de la curva logística Logistic map bifurcation diagram.png En el diagrama de bifurcaciones, al aproximarnos a la zona caótica, aparece una sucesión de periodos que se van duplicando en una progresión geométrica cuya razón tiende a 1/δ. (δ = constante de Feigenbaum = 4,6692)
\textstyle{\frac {\log(2)}{\log(3)}} 0,6309 Conjunto de Cantor Cantor set in seven iterations.svg Se construye dividiendo cada segmento en tres y eliminando el de en medio en cada iteración. No es denso en ninguna parte y es un conjunto no numerable.
 \log{(1+\sqrt{2})} 0,88137 Espectro del hamiltoniano de Fibonacci El estudio del espectro del hamiltoniano de Fibonacci demuestra la existencia de cotas superiores e inferiores para su dimensión fractal, con lo que se muestra que el espectro converge a una constante determinada.[2]
\textstyle{1} 1 Conjunto de Smith-Volterra-Cantor Smith-Volterra-Cantor set.svg Construido mediante la eliminación de un intervalo central de longitud 1/2^{2n} de cada uno de los intervalos existentes en la n-ésima iteración. No es denso en ninguna parte y tiene una medida de Lebesgue de ½.
\textstyle{\frac {\log(8)} {\log(7)}} 1,0686 Contorno de la isla de Gosper Gosper Island 3.svg
Medida (recuento de cajas) 1,2 Conjunto de Julia Dendrita Dendrite julia.png Conjunto de Julia para los parámetros: Real = 0 e Imaginario = 1.
\textstyle{3\frac{\log(\phi)}{\log (\frac{3+\sqrt{13}}{2})}} 1,2083 Fractal de Fibonacci (60°) Fibo 60deg F18.png Construcción a partir de la palabra de Fibonacci.
1,26 Atractor de Hénon Henon attractor.png El atractor canónico de Hénon (con parámetros a = 1,4 y b = 0,3) tiene dimensión de Hausdorff δ = 1.261 ± 0.003. Distintos parámetros dan lugar a diferentes valores de δ.
\textstyle{\frac {\log(4)} {\log(3)}} 1,2619 Curva de Koch Koch curve.svg Al yuxtaponer tres curvas de Koch se obtiene el copo de nieve (o bien el anti-copo de nieve) de Koch.
\textstyle{\frac {\log(4)} {\log(3)}} 1,2619 frontera de la curva del terdragón Terdragon boundary.png Sistema L: análogo a la curva del dragón con ángulo = 30°. El Fudgeflakese construye a partir de la yuxtaposición de tres segmentos iniciales en forma de triángulo.
\textstyle{\frac {\log(4)} {\log(3)}} 1,2619 Polvo de Cantor bidimensional Carre cantor.png Conjunto de Cantor en 2D.
calculado 1,2683 Conjunto de Julia z²-1 Julia z2-1.png Conjunto de Julia para c = -1. [3]
1,3057 Circunferencia de Apolonio Apollonian gasket.svg véase [4]
calculado 1,3934 Conejo de Douady Douady rabbit.png Conjunto de Julia para c = -0,123 + 0,745i. [5]
\textstyle{\frac {\log(5)} {\log(3)}} 1,4649 Fractal de Vicsek Box fractal.png Construido mediante la sustitución iterativa de un cuadrado por una cruz formada por cinco cuadrados.
\textstyle{\frac {\log(5)} {\log(3)}} 1,4649 Curva cuadrática de Koch (tipo 1) Quadratic Koch 2.png Se puede reconocer en él el patrón del fractal de Vicsek.
\textstyle{\frac {\log(8)} {\log(4)} = \frac{3}{2}} 1,5000 Curva cuadrática de Koch (tipo 2) Quadratic Koch.png También conocido como "salchicha de Minkowski".
\textstyle{\frac{\log\left(\frac{1+\sqrt[3]{73-6\sqrt{87}}+\sqrt[3]{73+6\sqrt{87}}}{3}\right)}
{\log(2)}} 1,5236 Frontera de la curva del dragón Boundary dragon curve.png Cf Chang & Zhang.[6] [7]
\textstyle{\frac {\log(3)} {\log(2)}} 1,585 Árbol de tres ramas Arbre 3 branches.pngArbre 3 branches2.png Cada rama se divide en tres, en las imágenes con ángulos de 90° y 60°). La dimensión fractal del árbol es la dimensión fractal de las ramas terminales. NB: el árbol de dos ramas tiene una dimensión fractal de solo 1.
\textstyle{\frac {\log(3)} {\log(2)}} 1,585 Triángulo de Sierpiński SierpinskiTriangle.PNG También es el triángulo de Pascal módulo 2.
\textstyle{\frac {\log(3)} {\log(2)}} 1,585 Curva de la punta de flecha de Sierpiński PfeilspitzenFraktal.PNG Con el mismo límite que el triángulo (arriba), pero construido a partir de una curva unidimensional.
\textstyle{1+\frac{\log 2}{\log 3}} 1,6309 Triángulo de Pascal módulo 3 Pascal triangle modulo 3.png Para un triángulo módulo k, si k es primo, la dimensión fractal es \scriptstyle{1 + \log_k(\frac{k+1}{2})} (Cf Stephen Wolfram[8] ).
\textstyle{3\frac{\log(\phi)}{\log (1+\sqrt{2})}} 1,6379 Fractal de Fibonacci Fibonacci fractal F23 steps.png Fractal basado en la palabra de Fibonacci (o sucesión de los conejos) Sloane A005614. Ilustración: Fractal tras 23 iteraciones (F23=28657 segmentos). [9] .
\textstyle{1+\frac{\log 3}{\log 5}} 1,6826 Triángulo de Pascal módulo 5 Pascal triangle modulo 5.png Para un triángulo módulo k, si k es primo, la dimensión fractal es \scriptstyle{1 + \log_k(\frac{k+1}{2})} (Cf Stephen Wolfram[8] ).
\textstyle{\frac {\log(4)} {\log(\sqrt{5})}} 1,7227 Fractal del molinete Pinwheel fractal.png Construido con el molinete (en inglés pinwheel) de Conway.
\textstyle{\frac {\log(7)} {\log(3)}} 1,7712 Hexacopo Flocon hexagonal.gif En cada iteración se cambia cada hexágono por un copo de 7 hexágonos. Su frontera es el copo de von Koch y contiene infinitos copos de Koch (blancos y negros).
\textstyle{\frac {\log(4)} {\log(2(1+\cos(85^\circ)))}} 1,7848 Curva de von Koch a 85°, fractal de Cesàro Koch Curve 85degrees.png Generalización de la curva de von Koch con un ángulo a de entre 0 y 90°. La dimensión fractal es entonces \scriptstyle{\frac{\log(4)}{\log(2(1+\cos(a)))}}. El fractal de Cesàro se basa en este patrón.
\textstyle{\frac {\log(6)} {\log(1+\phi)}} 1,8617 Pentacopo Penta plexity.png En cada iteración se cambia cada pentágono por un copo de 6 pentágonos. \phi = razón áurea = \scriptstyle{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}.
\textstyle{\frac {\log(8)} {\log(3)}} 1,8928 Alfombra de Sierpiński Sierpinski carpet 6.png Cada una de las caras de la esponja de Menger es una alfombra de Sierpiński, como lo es la superficie inferior de la superficie de Koch cuadrática tridimensional (tipo 1).
\textstyle{\frac {\log(8)} {\log(3)}} 1,8928 Polvo de Cantor tridimensional Cantor3D3.png Conjunto de Cantor en tres dimensiones.
Estimado 1,9340 Frontera de la curva de Lévy LevyFractal.png Estimado por Duvall y Keesling (1999). La propia curva tiene una dimensión fractal de 2.
1,974 Teselación de Penrose Pen0305c.gif See Ramachandrarao, Sinha & Sanyal[10] .
\textstyle{2} 2 Frontera del conjunto de Mandelbrot Boundary mandelbrot set.png La frontera y el propio conjunto tienen la misma dimensión [11] .
\textstyle{2} 2 Conjunto de Julia Julia set (Rev formula 04).gif Para determinados valores de c (incluido c perteneciente a la frontera del conjunto de Mandelbrot), el conjunto de Julia tiene una dimensión de 2. [12] .
\textstyle{2} 2 Curva de Sierpiński Sierpinski-Curve-3.png Toda curva de Peano que llena el plano tiene una dimensión de Hausdorff de 2.
\textstyle{2} 2 Curva de Hilbert Hilbert curve 3.svg
\textstyle{2} 2 Curva de Peano Peano curve.png Así como una familia de curvas construidas de forma similar, como las curvas de Wunderlich.
\textstyle{2} 2 Curva de Moore Moore-curve-stages-1-through-4.svg Se puede extender a 3 dimensiones.
2 Curva de Lebesgue o de orden z Z-order curve.png A diferencia de las anteriores, esta curva que llena el plano es diferenciable en casi todas partes. También se puede definir otro tipo en dos dimensiones. Al igual que la curva de Hilbert, se puede extender a tres dimensiones.[13]
\textstyle{\frac {\log(2)} {\log(\sqrt{2})} = 2} 2 Curva del dragón Courbe du dragon.png Su frontera tiene una dimensión fractal de 1,5236270862[14] .
2 Curva del terdragón Terdragon curve.png L-sistema: F→F+F–F, ángulo=120°.
\textstyle{\frac {\log(4)} {\log(2)} = 2} 2 T-cuadrado T-Square fractal (evolution).png
\textstyle{\frac {\log(4)} {\log(2)} = 2} 2 Curva de Gosper Gosper curve 3.svg Su frontera es la isla de Gosper.
\textstyle{\frac {\log(4)} {\log(2)} = 2} 2 Tetraedro de Sierpiński Tetraedre Sierpinski.png Cada tetraedro se sustituye por cuatro tetraedros.
\textstyle{\frac {\log(4)} {\log(2)} = 2} 2 Fractal H H fractal2.png También el «árbol de Mandelbrot», que muestra un patrón similar.
\textstyle{\frac {\log(2)} {\log(2/\sqrt{2})} = 2} 2 Árbol de Pitágoras PythagorasTree.png Cada cuadrado genera dos cuadrados con un cociente de reducción de \frac{\sqrt{2}}{2}.
\textstyle{\frac {\log(4)} {\log(2)} = 2} 2 Cruz griega fractal en 2D Greek cross fractal stage 4.svg Cada segmento es reemplazado por una cruz formada por 4 segmentos.
2,06 Atractor de Lorenz Lorenz attractor.png Para valores precisos de los parámetros.
\textstyle{\frac {\log(20)} {\log(2+\phi)}} 2,3296 Dodecaedro fractal Dodecaedron fractal.jpg Cada dodecaedro es sustituido por 20 dodecaedros más pequeños.
\textstyle{\frac {\log(13)} {\log(3)}} 2,3347 Superficie cuadrática tridimensional de Koch (tipo 1) Quadratic Koch 3D (type1 stage2).png Extensión tridimensional de la curva cuadrática de Koch (tipo 1). La ilustración muestra la segunda iteración.
2.4739 Intersticios entre las esferas de Apolonio Apollonian spheres2.png Intersticios entre las esferas de Apolonio, equivalente tridimensional del círculo de Apolonio. Dimensión calculada por M. Borkovec, W. De Paris y R. Peikert.[15]
\textstyle{\frac {\log(32)} {\log(4)} = \frac{5}{2}} 2,50 Superficie cuadrática tridimensional de Koch (tipo 2) Quadratic Koch 3D (type2 stage2).png Extensión tridimensional de la curva cuadrática de Koch (tipo 2). La ilustración muestra la segunda iteración
\textstyle{\frac {\log(16)} {\log(3)}} 2,5237 Teseracto de Cantor no se puede representar Conjunto de Cantor en cuatro dimensiones. Generalización: en un espacio de dimensión n, el conjunto de Cantor tiene una dimensión de Hausdorff de \scriptstyle{n\frac{\log(2)}{\log(3)}}.
\textstyle{\frac {\log(12)} {\log(1+\phi)}} 2,5819 Icosaedro fractal Icosaedron fractal.jpg Cada icosaedro es sustituido por 12 icosaedros más pequeños.
\textstyle{\frac {\log(6)} {\log(2)}} 2,5849 Cruz griega fractal en 3D Greek cross 3D 1 through 4.png Cada segmento es sustituido por una cruz tridimensional formada por 6 segmentos.
\textstyle{\frac {\log(6)} {\log(2)}} 2,5849 Octaedro fractal Octaedron fractal.jpg Cada octaedro es sustituido por 6 octaedros más pequeños.
\textstyle{\frac {\log(6)} {\log(2)}} 2,5849 Superficie de Koch Koch surface 3.png Cada triángulo equilátero es sustituido por seis triángulos equiláteros de la mitad de tamaño.
\textstyle{\frac {\log(20)} {\log(3)}} 2,7268 Esponja de Menger Menger.png Y su superficie tiene una dimensión fractal de \scriptstyle{\frac{\log(12)}{\log(3)} = 2,2618}.
\textstyle{\frac {\log(8)} {\log(2)} = 3} 3 Curva de Hilbert en 3D Hilbert3d-step3.png Curva Hilbert extendida a 3 dimensiones.
\textstyle{\frac {\log(8)} {\log(2)} = 3} 3 Curva de Lebesgue en 3D Lebesgue-3d-step3.png Curva de Lebesgue extendida a 3 dimensiones.
\textstyle{\frac {\log(8)} {\log(2)} = 3} 3 Curva de Moore en 3D Moore3d-step3.png Curva de Moore extendida a 3 dimensiones.

Fractales aleatorios y naturales[editar]

δ
(valor exacto)
δ
(valor)
Nombre Ilustración Observaciones
Medido 1,24 Línea de costa de Gran Bretaña Gb4dot.svg
\textstyle{\frac {4}{3}} 1,33 Frontera del movimiento browniano Front mouvt brownien.png (Cf Lawler, Schramm, Werner).[16]
\textstyle{\frac {4}{3}} 1,33 Polímero en 2D Similar al movimiento browniano en 2D sin autointersecciones. (Cf Sapoval).
\textstyle{\frac {4}{3}} 1,33 Frente de percolación o frente de corrosión en 2D Front de percolation.png Dimensión fractal del frente de percolación por invasión en el umbral de percolación (59,3%). También es la dimensión fractal del frente de corrosión (Cf Sapoval).
1,40 Agregado de agregados en 2D Cuando se limitan por difusión, los agregados se combinan progresivamente para formar un agregado único de dimensión 1,4. (Cf Sapoval)
Medido 1,52 Línea de costa de Noruega Norgeskart.png Véase J. Feder. [17]
Medido 1,55 Camino aleatorio sin autointersecciones Polymer 2D.png Camino aleatorio sin autointersecciones en una malla cuadrada, pero con una rutina que permite volver atrás, para así evitar los caminos cortados.
\textstyle{\frac {5} {3}} 1,66 Polímero en 3D De forma similar al movimiento browniano en una malla cúbica, pero sin autointersecciones (Cf Sapoval).
1,70 Agregado por difusión en 2D Aggregation limitee par diffusion.png En 2 dimensiones, los agregados formados por agregación por difusión limitada muestran una dimensión fractal de alrededor de 1,70 (Cf Sapoval).
\textstyle{\frac {91} {48}} 1,8958 Agregado de percolación en 2D Amas de percolation.png Por debajo del umbral de percolación (59.3%) el agregado de percolación por invasión tiene una dimensión fractal de 91/48 (Cf Sapoval). Más allá de ese umbral, el agregado es infinito y 91/48 pasa a ser la dimensión fractal de los «claros».
\textstyle{\frac {\log(2)} {\log(\sqrt{2})} = 2} 2 Movimiento browniano Mouvt brownien2.png O movimiento aleatorio. La dimensión de Hausdorff es igual a 2 en 2D, en 3D y en todas las dimensiones mayores (K.Falconer "The geometry of fractal sets").
\textstyle{\frac {\log(13)} {\log(3)}} 2,33 Coliflor Blumenkohl-1.jpg Cada rama se divide en unas 13 ramas de un tercio de su tamaño.
2,5 Bolas de papel Paperball.png Cuando se forman bolas de papel de distinto tamaño pero formados del mismo tipo de papel y con la misma razón entre los lados, el diámetro de las bolas elevado a un exponente no entero comprendido entre 2 y 3 será aproximadamente proporcional al área de las hojas de las que se formaron dichas bolas. [1] Se formarán pliegues a cualquier escala.
2,50 Agregado por difusión en 3D En 3 dimensiones, los agregados formados por agregación por difusión limitada muestran una dimensión fractal de alrededor de 2,50 (Cf Sapoval).
2,50 Figura de Lichtenberg PlanePair2.jpg Su forma y crecimiento parecen estar relacionados con el proceso de agregación por difusión limitada (Cf Sapoval).
Medido 2,66 Brócoli Broccoli DSC00862.png [18]
2,79 Superficie del cerebro humano Cerebellum NIH.png [19]
2,97 Superficie del pulmón Thorax Lung 3d (2).jpg Los alveolos de un pulmón forman un fractal de superficie fractal próxima a 3 (Cf Sapoval).
Calculado 3 Cuerda cuántica Point&string.png Dimensión de Hausdorff de una cuerda cuántica cuyo punto representativo vaga aleatoriamente.[20]
\textstyle{\log_{2}({f_{1}^{2}+f_{2}^{2}+f_{3}^{2}+f_{4}^{2}})} \textstyle{\in(-\infty,2)} Cascada multiplicativa 3fractals2.jpg Este es un ejemplo de distribución multifractal, ya que no es exactamente autosimilar. Sin embargo, al elegir \textstyle{f_{1},f_{2},f_{3},f_{4}} de una forma particular se puede forzar que la distribución se convierta en un monofractal[21] .

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  • 1Kenneth Falconer, Fractal Geometry, John Wiley & Son Ltd; ISBN 0-471-92287-0 (March 1990)

Bibliografía[editar]

  • Benoît Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman & Co; ISBN 0-7167-1186-9 (September 1982).
  • Heinz-Otto Peitgen, The Science of Fractal Images, Dietmar Saupe (editor), Springer Verlag, ISBN 0-387-96608-0 (August 1988)
  • Michael F. Barnsley, Fractals Everywhere, Morgan Kaufmann; ISBN 0-12-079061-0
  • Bernard Sapoval, « Universalités et fractales », collection Champs, Flammarion.

Enlaces externos[editar]

En inglés: