Análogo dimensional del Cubo de Rubik

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Un Análogo dimensional del Cubo de Rubik es un rompecabezas cuya geometría y funcionamiento son análogos a los del Cubo de Rubik, es decir puede ser un hipercubo de cualquier número de dimensiones. Estos análogos tienen n^d piezas diferentes, donde d es el número de dimensiones del hipercubo, y n es el número partes en las que se divide cualquiera de las líneas que unen dos vértices del mismo. El conocido cubo de Rubik es un hipercubo con 3^3 = 27 piezas cúbicas, de las cuales una es invisible por estar en el centro del cubo.

Estructura[editar]

Cada uno de los análogos tiene sus piezas cubiertas por estampitas de colores, las cuales tienen d -1 dimensiones. Sin embargo, sólo un subconjunto de las piezas muestran sus estampitas al exterior, es decir hay piezas con un distinto número de estampitas visibles en d dimensiones. Por ejemplo, en el Cubo de Rubik existen piezas que tienen 0, 1, 2, y 3 estampitas. En general los análogos contienen d +1 tipos distintos de piezas. Para cada tipo distinto de piezas se puede conocer el número total de ellas en el rompecabezas a través de la fórmula

2^s \cdot {}_d\!C_s

Donde d es el número de dimensiones, s es el número de estampitas de un tipo de pieza particular, y {}_d\!C_s es el número de combianaciones de d cosas tomadas en s, lo que es igual a

\frac{d!}{s!(d-s)!}

Si añadimos a nuestra fórmula el operador n -2 obtenemos una expresión para el número de piezas de cualquier n, d, y s

2^s \cdot {}_d\!C_s \cdot (n-2)

A partir de estos planteamientos podemos deducir el número de piezas de todos los tipos, por ejemplo de un análogo de la forma 3^d:

d\s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Piezas totales Estampitas totales
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2
2 1 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 9 12
3 1 6 12 8 0 0 0 0 0 0 0 27 54
4 1 8 24 32 16 0 0 0 0 0 0 81 216
5 1 10 40 80 80 32 0 0 0 0 0 243 810
6 1 12 60 160 240 192 64 0 0 0 0 729 2916
7 1 14 84 280 560 672 448 128 0 0 0 2187 10206
8 1 16 112 448 1120 1792 1792 1024 256 0 0 6561 34992
9 1 18 144 672 2016 4032 5376 4608 2304 512 0 19683 118098
10 1 20 180 960 3360 8064 13440 15360 11520 5120 1024 59049 393660