142.857

Entre los números que presentan curiosidades matemáticas destaca el 142.857 (ciento cuarenta y dos mil ochocientos cincuenta y siete). Este número tiene la particularidad que al ser multiplicado por la secuencia de 2 a 6, el producto resultante corresponde exactamente a las mismas cifras del número original pero en otro orden. Por esta razón, este tipo de números se denominan cíclicos.

Secuencia inicial

Véase la secuencia (separador de miles retirado para mayor claridad):

• 142857 × 2 = 285714
• 142857 × 3 = 428571
• 142857 × 4 = 571428
• 142857 × 5 = 714285
• 142857 × 6 = 857142

Otras curiosidades

Al multiplicarlo por 7, la particularidad anterior no se cumple, pero también el resultado es curioso:

• 142857 × 7 = 999999

Al continuar multiplicando, la particularidad antes descrita permanece, pero un poco menos evidente:

• 142857 × 8 = 1142856

Obsérvese que la cifra 7 ha desaparecido, pero ha sido reemplazada por 1 y 6: 1+6=7

• 142857 × 9 = 1285713 (Ahora falta el 4, pero queda 1 y 3)
• 142857 × 10 = 1428570
• 142857 × 11 = 1571427 (Falta un 8, pero tenemos un 1 y 7 adicionales)

Si se sigue con la secuencia de multiplicaciones será posible encontrar aún otras permutaciones y combinaciones de cifras que volverán a componer el número original: 142857.

Por ejemplo:

• 142857 × 429 = 61285653 vemos que en la parte central está el 285 de nuestro número mágico y nos falta por tanto el 714 (por orden cíclico), pero en el resultado 61285653 vemos que la suma de los extremos sobrantes 61+653 nos da precisamente el 714 que nos faltaba.

Otro ejemplo: 142857 * 26599 = 3799853343 vemos que en la parte central esta el 85 de nuestro número y falta por tanto el 7142, según el orden cíclico, y vemos que nuevamente es la suma de los extremos sobrantes 3799+3343 = 7142.

Este número es la parte periódica de un número que es dividido entre 7 (y no da exacto)

$\frac{1}{7}=0,142857...$	$\frac{2}{7}=0,285714...$	$\frac{3}{7}=0,428571...$
$\frac{4}{7}=0,571428...$	$\frac{5}{7}=0,714285...$	$\frac{6}{7}=0,857142...$

Sea cual sea el número, estos seis números se repetirán siempre en el mismo orden, pero empezando desde uno u otro. Ejemplo 1307/7 = 186,71428571428...

Si lo elevamos al cuadrado, lo partimos en dos y sumamos los dos números resultantes:

• $142857^2 = 20408122449$
• $20408 + 122449 = 142857$

Si elevamos los primeros 3 dígitos al cuadrado, y lo restamos del cuadrado de los últimos 3 dígitos, nos llevamos otra sorpresa:

• $142^2=20164$
• $857^2=734449$
• $734449-20164=714285$

Si sumamos los primeros 3 dígitos y los últimos 3 dígitos, obtendremos otro resultado curioso:

• 142 + 857 = 999

Si sumamos los dígitos de 2 en 2, obtendremos otro:

• 14 + 28 + 57 = 99

Si lo multiplicamos por números múltiplos de 7:

• $142857*7 = 999999$
• $142857*14 = 1999998$
• $142857*21 = 2999997$
• $142857*28 = 3999996$
• $142857*35 = 4999995$

En cualquier caso los extremos que rodean los 9 centrales sumarán 9 ó 99 ó 999, etc. Ejemplo: 142857*847 = 120999879 sumando los extremos de los 9 centrales, 120+879 obtenemos 999.

Bibliografía

• Leslie, John. "The Philosophy of Arithmetic: Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of ....", Longman, Hurst, Rees, Orme, and Brown, 1820, ISBN 1-4020-1546-1
• Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers Revised Edition. Londres: Penguin Group. (1997): 171 - 175

Enlaces externos

• Sitio del número