142.857

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Entre los números que presentan curiosidades matemáticas destaca el 142.857 (ciento cuarenta y dos mil ochocientos cincuenta y siete). Este número tiene la particularidad que al ser multiplicado por la secuencia de 2 a 6, el producto resultante corresponde exactamente a las mismas cifras del número original pero en otro orden. Por esta razón, este tipo de números se denominan cíclicos.

Secuencia inicial[editar]

Véase la secuencia (separador de miles retirado para mayor claridad):

  • 142.857 × 2 = 285.714
  • 142.857 × 3 = 428.571
  • 142.857 × 4 = 571.428
  • 142.857 × 5 = 714.285
  • 142.857 × 6 = 857.142

Otras curiosidades[editar]

Al multiplicarlo por 7, la particularidad anterior no se cumple, pero también el resultado es curioso:

  • 142.857 × 7 = 999999

Al continuar multiplicando, la particularidad antes descrita permanece, pero un poco menos evidente:

  • 142.857 × 8 = 1142856

Obsérvese que la cifra 7 ha desaparecido, pero ha sido reemplazada por 1 y 6: 1+6=7

  • 142..857 × 9 = 1.285.713 (Ahora falta el 4, pero queda 1 y 3)
  • 142.857 × 10 = 1.428.570
  • 142.857 × 11 = 1.571.427 (Falta un 8, pero tenemos un 1 y 7 adicionales)
Si se sigue con la secuencia de multiplicaciones será posible encontrar aún otras permutaciones y combinaciones de cifras que volverán a componer el número original: 142.857.

Por ejemplo:

  • 142.857 × 429 = 61.285.653 vemos que en la parte central está el 285 de nuestro número mágico y nos falta por tanto el 714 (por orden cíclico), pero en el resultado 61.285.653 vemos que la suma de los extremos sobrantes 61+653 nos da precisamente el 714 que nos faltaba.

Otro ejemplo: 142.857 * 26.599 = 3.799.853.343 vemos que en la parte central esta el 85 de nuestro número y falta por tanto el 7.142, según el orden cíclico, y vemos que nuevamente es la suma de los extremos sobrantes 3.799+3.343 = 7.142.

Este número es la parte periódica de un número que es dividido entre 7 (y no da exacto)

\frac{1}{7}=0,142857... \frac{2}{7}=0,285714... \frac{3}{7}=0,428571...
\frac{4}{7}=0,571428... \frac{5}{7}=0,714285... \frac{6}{7}=0,857142...
Sea cual sea el número, estos seis números se repetirán siempre en el mismo orden, pero empezando desde uno u otro. Ejemplo 1307/7 = 186,71428571428...

Si lo elevamos al cuadrado, lo partimos en dos y sumamos los dos números resultantes:

  • 142857^2 = 20408122449
  • 20408 + 122449 = 142857

Si elevamos los primeros 3 dígitos al cuadrado, y lo restamos del cuadrado de los últimos 3 dígitos, nos llevamos otra sorpresa:

  • 142^2=20164
  • 857^2=734449
  • 734449-20164=714285

Si sumamos los primeros 3 dígitos y los últimos 3 dígitos, obtendremos otro resultado curioso:

  • 142 + 857 = 999

Si sumamos los dígitos de 2 en 2, obtendremos otro:

  • 14 + 28 + 57 = 99

Si lo multiplicamos por números múltiplos de 7:

  • 142857*7 = 999999
  • 142857*14 = 1999998
  • 142857*21 = 2999997
  • 142857*28 = 3999996
  • 142857*35 = 4999995

En cualquier caso los extremos que rodean los 9 centrales sumarán 9 o 99 o 999, etc. Ejemplo: 142.857*847 = 120.999.879 sumando los extremos de los 9 centrales, 120+879 obtenemos 999.

  • Ajedrez: El problema de las 8 damas

En el Ajedrez hay un acertijo de las 8 damas. Se trata de una famosa cuestión que, básicamente, se enuncia así: "Sobre un tablero de ajedrez de 8x8 colocar ocho damas de modo que no se amenacen entre sí."

En las 92 soluciones que existentes, número reconocido hoy como definitivo, podemos encontrar el numero 142.857 en todas las soluciones añadiéndose el 6 y 3.

Se demuestra que, a partir de una solución, se pueden obtener otras siete (inversa, complementaria, inversa de la complementaria, recíproca, inversa de la reciproca, autorrecíproca e inversa de la autorrecíproca), por lo que es posible encontrar un número menor de soluciones y de ahí averiguar las demás.

Pero siempre se van a encontrar el 142.857 añadidos el 6 y el 3.

Bibliografía[editar]

  • Leslie, John. "The Philosophy of Arithmetic: Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of ....", Longman, Hurst, Rees, Orme, and Brown, 1820, ISBN 1-4020-1546-1
  • Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers Revised Edition. Londres: Penguin Group. (1997): 171 - 175
  • Israel Pacheco , Quito ,Ecuador 2013 ,Tema Ajedrez: El problema de las 8 damas

Enlaces externos[editar]