142.857

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Entre los números que presentan curiosidades matemáticas destaca el 142.857 (ciento cuarenta y dos mil ochocientos cincuenta y siete). Este número tiene la particularidad que al ser multiplicado por la secuencia de 2 a 6, el producto resultante corresponde exactamente a las mismas cifras del número original pero en otro orden. Por esta razón, este tipo de números se denominan cíclicos.

Secuencia inicial[editar]

Véase la secuencia (separador de miles retirado para mayor claridad):

  • 142.857 × 2 = 285.714
  • 142.857 × 3 = 428.571
  • 142.857 × 4 = 571.428
  • 142.857 × 5 = 714.285
  • 142.857 × 6 = 857.142

Otras propiedades[editar]

Al multiplicarlo por 7, la particularidad anterior no se cumple, pero se cumple:

  • 142.857 × 7 = 999999

Al continuar multiplicando, la particularidad antes descrita permanece, pero un poco menos evidente:

  • 142.857 × 8 = 1142856

Obsérvese que la cifra 7 ha desaparecido, pero ha sido reemplazada por 1 y 6: 1+6=7

  • 142..857 × 9 = 1.285.713 (Ahora falta el 4, pero queda 1 y 3)
  • 142.857 × 10 = 1.428.570
  • 142.857 × 11 = 1.571.427 (Falta un 8, pero tenemos un 1 y 7 adicionales)
Si se sigue con la secuencia de multiplicaciones será posible encontrar aún otras permutaciones y combinaciones de cifras que volverán a componer el número original: 142.857.

Por ejemplo:

  • 142.857 × 429 = 61.285.653. En la parte central está el 285 de nuestro número mágico y nos falta por tanto el 714 (por orden cíclico), pero en el resultado 61.285.653. La suma de los extremos sobrantes 61+653 nos da precisamente el 714 que nos faltaba.

Otro ejemplo: 142.857 * 26.599 = 3.799.853.343. En la parte central está el 85 del número inicial y falta por tanto el 7.142, según el orden cíclico, y nuevamente es la suma de los extremos sobrantes 3.799+3.343 = 7.142.

Este número es la parte periódica de un número que es dividido entre 7 (y no da exacto)

\frac{1}{7}=0,142857... \frac{2}{7}=0,285714... \frac{3}{7}=0,428571...
\frac{4}{7}=0,571428... \frac{5}{7}=0,714285... \frac{6}{7}=0,857142...
Sea cual sea el número, estos seis números se repetirán siempre en el mismo orden, pero empezando desde uno u otro. Ejemplo 1307/7 = 186,71428571428...

Si se eleva al cuadrado, se parte en dos y se suman los dos números resultantes:

  • 142857^2 = 20408122449
  • 20408 + 122449 = 142857

Si se elevan los primeros 3 dígitos al cuadrado, y se restan del cuadrado de los últimos 3 dígitos:

  • 142^2=20164
  • 857^2=734449
  • 734449-20164=714285

Si se suman los primeros 3 dígitos y los últimos 3 dígitos, se obtiene:

  • 142 + 857 = 999

Si se suman los dígitos de 2 en 2, se obtiene otro:

  • 14 + 28 + 57 = 99

Si se multiplican por números múltiplos de 7:

  • 142857*7 = 999999
  • 142857*14 = 1999998
  • 142857*21 = 2999997
  • 142857*28 = 3999996
  • 142857*35 = 4999995

En cualquier caso los extremos que rodean los 9 centrales sumarán 9 o 99 o 999, etc. Ejemplo: 142.857*847 = 120.999.879 sumando los extremos de los 9 centrales, 120+879 obtenemos 999.

Ajedrez. El problema de las 8 damas

Enunciado: «Sobre un tablero de ajedrez de 8x8 colocar ocho damas de modo que no se amenacen entre sí.»

En las 92 soluciones que existentes, número reconocido como definitivo, se puede encontrar el número 142.857 en todas las soluciones añadiéndose el 6 y 3.

Se demuestra que, a partir de una solución, se pueden obtener otras siete (inversa, complementaria, inversa de la complementaria, recíproca, inversa de la reciproca, autorrecíproca e inversa de la autorrecíproca), por lo que es posible encontrar un número menor de soluciones y de ahí averiguar las demás.

Pero siempre se van a encontrar el 142.857 añadidos el 6 y el 3.

Bibliografía[editar]

  • Leslie, John. The Philosophy of Arithmetic: Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of ...., Longman, Hurst, Rees, Orme, and Brown, 1820, ISBN 1-4020-1546-1
  • Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers Revised Edition. Londres: Penguin Group. (1997): 171 - 175
  • Israel Pacheco, Quito, Ecuador, 2013, Ajedrez: El problema de las 8 damas.

Enlaces externos[editar]