Ángulo

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Un ángulo positivo de 45°.
Ángulo de 1°
(amplitud de 1 grado sexagesimal).

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice.[1] Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.

Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.

Definición y características[editar]

Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano:

  1. Forma geométrica: Se le llama "ángulo" a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.
  2. Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), el ángulo se considera positivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.

Definiciones clásicas[editar]

Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Según Proclo, un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemo de Rodas, que describió un ángulo como desviación de una línea recta; el segundo por Carpo de Antioquía, que lo vio como el intervalo o el espacio entre las líneas que se intersecaban; Euclides adoptó un tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas.

Región angular[editar]

Se denomina región angular cada una de las dos partes en que queda dividido el plano por un ángulo.[2]

== hola hola hola Se llama amplitud de un ángulo a la medida de éste.[2]

Unidades de amplitud[editar]

Transportador de ángulos.

Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:

 1\; vuelta = 2\; \pi \;\; rad
 1\; vuelta = 360^0
 1\; vuelta = 400^g

Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.

Tipos de ángulos[editar]

Los ángulos, de acuerdo con su amplitud, reciben estas denominaciones:

Las manillas de un reloj conforman distintos tipos de ángulos. En este caso, un ángulo agudo.
Tipo Descripción
Ángulo nulo

Angulo000.svg

Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0°.
Ángulo agudo

Angulo045.svg

Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y menor de \frac{\pi}{2} rad.

Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (grados sexagesimales), o menor de 100g (grados centesimales).

Ángulo recto

Angulo090.svg

Un ángulo recto es de amplitud igual a \frac{\pi}{2} rad.

Es equivalente a 90° sexagesimales (o 100g centesimales).

Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.
La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.

Ángulo obtuso

Angulo135.svg

Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a \frac{\pi}{2} rad y menor a \pi\, rad.

Mayor a 90° y menor a 180° sexagesimales (o más de 100g y menos de 200g centesimales).

Ángulo llano

Angulo180.svg

El ángulo llano tiene una amplitud de  \pi \, rad.

Equivalente a 180° sexagesimales (o 200g centesimales).

Ángulo oblicuo

Angulo225.svg

Ángulo que no es recto ni múltiplo de un ángulo recto.

Los ángulos agudos y obtusos son ángulos oblicuos.

Ángulo completo
o perigonal

Angulo360.svg

Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de  2\pi\, rad.

Equivalente a 360° sexagesimales (o 400g centesimales).

Ángulos convexo y cóncavo[editar]

En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con un origen común determinan siempre dos ángulos, uno convexo (el de menor amplitud) y otro cóncavo (el de mayor amplitud):[1]

Tipo Descripción
Ángulo convexo
o saliente

Angulo060.svg

Es el que mide menos de  \pi\, rad.

Equivale a más de 0° y menos de 180°sexagesimales (o más de 0g y menos de 200g centesimales).

Ángulo cóncavo,
reflejo o entrante

Angulo240.svg

Es el que mide más de  \pi\, rad y menos de  2 \pi\, rad.

Esto es, más de 180° y menos de 360° sexagesimales (o más de 200g y menos de 400g centesimales).

Ángulos relacionados[editar]

En función de su posición, se denominan:

  • ángulos adyacentes, los que tienen un vértice y un lado común, y semirrectas opuestas, pero no tienen ningún punto interior común, y suman 180°.
  • ángulos consecutivos, los que tienen un lado y el vértice común.
  • ángulos opuestos por el vértice, aquellos cuyos lados son semirrectas opuestas.
  • ángulos correspondientes, formados por dos paralelas y una transversal. Se encuentran en el mismo semiplano con respecto a la transversal y uno pertenece a la región interior y otro a la región exterior. Son congruentes.

En función de su amplitud, se denominan:

Ángulos de un polígono[editar]

En función de su posición, se denominan:

  • ángulo interior o interno de un polígono, es el formado por lados adyacentes, interiormente.
  • ángulo exterior o externo de un polígono, es el conformado por un lado y la prolongación del adyacente.

Ángulos respecto de una circunferencia[editar]

Ángulos en la circunferencia.
Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.

Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:

Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta.

La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.

Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados la cortan en dos puntos.

La amplitud de un ángulo inscrito es la mitad de la del arco que abarca. (Véase: arco capaz.)

Ángulo semi-inscrito, si su vértice está sobre ésta, uno de sus lados la corta y el otro es tangente, siendo el punto de tangencia el propio vértice.

La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.

La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones;

Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de ésta.

La amplitud de un ángulo, no es la mitad de la diferencia de los dos arcos que abarcan sus lados sobre dicha circunferencia.

Trisección del ángulo[editar]

La trisección del ángulo es un problema clásico que consiste en dividir un ángulo dado en tres partes iguales usando sólo regla y compás. En general, es imposible de resolver con esas condiciones.

Ángulos tridimensionales[editar]

  • El ángulo diedro, es cada una de las dos partes del espacio delimitadas por dos semiplanos que parten de una recta común,
  • El ángulo sólido, es la zona del espacio delimitada por una superficie cónica.

Coordenadas angulares tridimensionales[editar]

  • Los ángulos de Euler, son tres coordenadas angulares que indican la orientación de un sistema de referencia de ejes ortogonales, normalmente móvil, respecto a otro fijo.

Ángulos en un espacio vectorial[editar]

Dado un espacio vectorial, cuyo cuerpo es el conjunto de los números reales y en el que existe un producto escalar entre vectores \langle\cdot,\cdot\rangle, se define el ángulo formado por dos vectores no nulos x e y mediante la expresión:
\angle(x,y)=\arccos\frac{\langle x, y \rangle}{\|x\|\cdot\|y\|},
Si el cociente anterior es 0, se dice que ambos vectores son ortogonales o perpendiculares. El cociente anterior está en el intervalo (-1,1) debido a la Desigualdad de Cauchy-Schwarz, lo que garantiza que siempre puede aplicarse el arcocoseno. Normalmente, se toma la rama del arcocoseno de forma que el ángulo que forman dos vectores siempre está en el intervalo [0,\pi] (geométricamente, se elige el menor de los ángulos que forman dos vectores). Las principales propiedades que cumple el ángulo de dos vectores son las siguientes:

  • Si multiplicamos uno de los vectores por un escalar positivo, el ángulo no cambia.
  • Si multiplicamos uno de los vectores por un escalar negativo, el ángulo pasa a ser el complementario.
  • Se cumple el Teorema del coseno, es decir, dados x e y no nulos,
    \|x-y\|^2=\|x\|^2+\|y\|^2-2\|x\|\cdot\|y\|\cdot\cos\angle(x,y)

Galería de ángulos[editar]

Angulo000.svg Angulo015.svg Angulo030.svg Angulo045.svg Angulo060.svg Angulo075.svg
 0^{\circ} \,  15^{\circ} \,  30^{\circ} \,  45^{\circ} \,  60^{\circ} \,  75^{\circ} \,
Angulo090.svg Angulo105.svg Angulo120.svg Angulo135.svg Angulo150.svg Angulo165.svg
 90^{\circ} \,  105^{\circ} \,  120^{\circ} \,  135^{\circ} \,  150^{\circ} \,  165^{\circ} \,
Angulo180.svg Angulo195.svg Angulo210.svg Angulo225.svg Angulo240.svg Angulo255.svg
 180^{\circ} \,  195^{\circ} \,  210^{\circ} \,  225^{\circ} \,  240^{\circ} \,  255^{\circ} \,
Angulo270.svg Angulo285.svg Angulo300.svg Angulo315.svg Angulo330.svg Angulo345.svg
 270^{\circ} \,  285^{\circ} \,  300^{\circ} \,  315^{\circ} \,  330^{\circ} \,  345^{\circ} \,
Angulo360.svg
 360^{\circ} \,

Véase también[editar]

Referencias[editar]

  1. a b «Ángulos». descartes.cnice.mec.es. Consultado el 17 de octubre de 2010.
  2. a b Real Academia de Ciencias Exactas, Física y Naturales, ed. (1999). Diccionario esencial de las ciencias. Espsa. ISBN 84-239-7921-0. 

Enlaces externos[editar]