Ángulo inscrito

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En geometría, un ángulo inscrito es el ángulo convexo que tiene su vértice en una circunferencia, las semirrectas que constituyen sus lados son secantes o cuerdas de la misma.

Propiedades[editar]

Mientras que un ángulo central tiene una amplitud \theta igual a la del arco que abarca, la del ángulo inscrito es la mitad de la porción de circunferencia en su interior, \theta/2 .

Entre otros resultados, esta propiedad permite demostrar que los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico son suplementarios, y que cuando dos cuerdas a, b se intersecan en el interior del círculo, el producto de la longitud de sus segmentos es el mismo a_1 \cdot a_2 = b_1 \cdot b_2.

Demostración[editar]

Para entender la prueba, es útil dibujar un diagrama como los de las figuras.

Ángulos inscritos donde una cuerda es un diámetro[editar]

Ángulo inscrito \alpha y arco \theta

Sean o el centro de un círculo, u y v dos puntos en la circunferencia, y w el otro extremo de la cuerda que pasa por u y o. Sea \theta la amplitud del arco comprendido entre las secantes \bar{uv} y \bar{uw}, y \alpha su ángulo inscrito.

El ángulo central \angle wov, también tiene amplitud \theta y es suplementario de \angle vou = \beta. Por lo tanto \theta + \beta = 180°.

Como el triángulo \triangle uvo tiene dos lados con longitud igual al radio (\bar{uo} y \bar{vo}), es isósceles, por lo tanto \angle uvo = \alpha. Dado que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°, tenemos que 2\alpha + \beta = 180, pero \beta = 180 - \theta, así que 2\alpha + 180 - \theta = 180, o lo que es equivalente, 2\alpha = \theta.

Por lo tanto, el ángulo inscrito \alpha tiene la mitad de la amplitud de la porción de círculo en su interior \theta, \alpha = \frac{\theta}{2}.

Véase también[editar]

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