Álgebra mediana

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En matemática, un álgebra mediana es un conjunto con un operador ternario < x,y,z > que satisface los siguientes axiomas, los cuales generalizan la noción de mediana o función mayorante, como una función booleana:

  1. Absorción por la derecha:
    < u,v,v > = v
  2. Simetría por la derecha:
    < u,v,w > = < u,w,v >
  3. Simetría por la izquierda:
    < u,v,w > = < v,u,w >
  4. Transitividad:
    < u,v,< u,w,x > > = < u,< u,v,w >, x >

El segundo y tercer axioma implican conmutatividad. Es posible (pero no sencillo) demostrar que en presencia de los otros tres, el tercer axioma es redundante. El cuarto axioma implica asociatividad.[1]

Existen otros posibles sistemas axiomáticos, como por ejemplo los siguientes dos axiomas también son suficientes:

  • < u,v,v > = v
  • < u,v,< u,w,x > > = < u,x,< w,u,v > >

En un álgebra de Boole, o más general en un retículo distributivo, la función mediana \langle x,y,z \rangle = (x \vee y) \wedge (y \vee z) \wedge (z \vee x) satisface estos axiomas. Por lo tanto, cada álgebra de Boole y cada retículo distributivo forman un álgebra mediana.[2]

Birkhoff y Kiss demostraron que un álgebra mediana con elementos 0 y 1 que satisfacen < 0,x,1 > = x, es un retículo distributivo.[3]

Relación con grafos medianos[editar]

Un grafo mediano es un grafo no dirigido en que para cualesquiera tres vértices x, y, z existe un único vértice < x,y,z > que pertenece a los caminos más cortos entre todos los pares conformados por ellos. Cuando un grafo es mediano, la operación < x,y,z > define un álgebra mediana cuyos elementos son los vértices del grafo.

Al revés, en cualquier álgebra mediana, uno puede definir un intervalo [x, z] como el conjunto de elementos y tales que < x,y,z > = y. Se puede definir así un grafo desde un álgebra mediana creando un vértice por cada elemento del álgebra y una arista por cada par (x, z) tal que el intervalo [x, z] no contenga elementos adicionales. Si el álgebra posee la propiedad de que cada intervalo sea finito, entonces este grafo es un grafo mediano, que es exactamente representado por el álgebra, y en que la operación mediana definida por los caminos más cortos en el grafo coinciden con la operación mediana del álgebra original.[4]

Referencias[editar]

  1. Isbell, John R. (Agosto 1980). «Median Algebra» (en inglés). Trans. Amer. Math. Soc. 260 (2):  pp. 319-362. doi:10.2307/1998007. 
  2. Knuth, Donald E. (2008). «Introduction to combinatorial algorithms and Boolean functions» (en inglés). The Art of Computer Programming (Upper Saddle River, NJ: Addison-Wesley) 4.0:  pp. 64-74. ISBN 0-321-53496-4. 
  3. Birkhoff, Garret; Kiss (1947). «A ternary operation in distributive lattices» (en inglés). Bull. Amer. Math. Soc. 53:  pp. 749-752. doi:10.1090/S0002-9904-1947-08864-9. 
  4. Bandelt, Hand-Jürgen; V. Chepoi (2008). «Metric graph theory and geometry: a survey» (en inglés). Contemporary Mathematics. http://www.lif-sud.univ-mrs.fr/%7Echepoi/survey_cm_bis.pdf. 

Enlaces externos[editar]