Álgebra de conjuntos

En matemáticas, se denomina álgebra de conjuntos a las operaciones básicas que pueden realizarse con conjuntos, como la unión, intersección, etc.

Conjuntos

Un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Un conjunto está definido únicamente por los elementos que lo componen, y no por la manera en la que se lo representa.

$U = \{a, b, c, d, e, f \} \,$

$A = \{b, c, d \} \,$

$B = \{c, d \} \;$

Existe una serie de relaciones básicas entre conjuntos y sus elementos:

• El conjunto universal, referencial o universo de discurso, que normalmente se denota por las letras $U , \; V \; \acute o \; E \,$, es un conjunto cuyo objeto de estudio son los subconjuntos del mismo. En la figura tenemos:

$U = \{a, b, c, d, e, f \} \,$

• Pertenencia. La relación relativa a conjuntos más básica es la relación de pertenencia. Dado un elemento x, pertecece a un conjunto dado. Esto se indica como:

$a \in U \quad b \in A \quad c \in A \quad c \in B$

Si un elemento no pertenece a un conjunto, se indica:

$a \notin A \quad b \notin B \quad e \notin A \quad f \notin B$

• Inclusión. Dado un conjunto A, cualquier subcolección B de sus elementos es un subconjunto de A, y se indica como:

$A \subset U \quad B \subset U \quad B \subset A \quad B \subset A \subset U$

Si un conjunto no esta incluido en otro, se indica:

$U \not\subset A \quad A \not\subset B$

• Igualdad. Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Este principio, denominado principio de extensionalidad establece el hecho de que un conjunto queda definido únicamente por sus elementos.

Operaciones con conjuntos

Veamos las operaciones con conjuntos, para ello lo ilustraremos con el ejemplo de la figura, donde puede ver el conjunto universal adoptado: U y dos conjuntos el A y el B, así como los elementos que pertenecen a cada uno:

$U = \{a, b, c, d, e, f \} \,$

$A = \{b, c, d \} \,$

$B = \{d, e \} \,$

Las operaciones básicas del álgebra de conjuntos son:

• Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene todos los elementos de A y de B.

$A \cup B = \{b, c, d, e \} \,$

• Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.

$A \cap B = \{d \} \,$

• Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A^∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A.

$A^C = \{ a, e, f \} \,$

$B^C = \{a, b, c, f \} \,$

$(A \cup B)^C = \{a, f \} \,$

• Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.

$A \setminus B = A \cap B^C = \{b, c \} \,$

$B \setminus A = B \cap A^C = \{e \} \,$

Dasos dos conjuntos A y B, se llama diferencia entre A y B, y se representa A - B, al conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B. Es decir:

$A - B = \{ x : \quad x \in A \quad \and \quad x \notin B \}$

Con esta notación, se expresaria:

$A - B = A \cap B^C = \{b, c \} \,$

$B - A = B \cap A^C = \{e \} \,$

• Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer (segundo) elemento pertenece a A (a B).

Algunas de estas operaciones poseen propiedades similares a las operaciones con números. Por ejemplo, la unión y la intersección son conmutativas y asociativas. El conjunto vacío es el elemento neutro de la unión, y el elemento absorbente de la intersección y el producto cartesiano. El conjunto universal es el elemento neutro de la intersección y el elemento absorbente de la unión.

Además, las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento son muy similares a las operaciones en un álgebra de Boole, así como a los conectores lógicos de la lógica proposicional.

Leyes fundamentales

Dadas las operaciones binarias sobre conjuntos unión e intersección y la operación monaria complemento, se cumplen algunas leyes o propiedades que se agrupan del siguiente modo:

Proposición 1: para cualquier conjunto A, B y C se cumplen las siguientes proposiciones:

• Ley conmutativa:

$A \cup B = B \cup A$

$A \cap B = B \cap A$

• Ley asociativa:

$A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$

$A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$

• Ley distributiva

$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$

$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$

Proposición 2: existe un conjunto universal U, para el que se cumple que dado un conjunto A, A es un subconjunto de U, existe un conjunto Ø que llamaremos conjunto vacío

• Ley de identidad:

$A \cup \varnothing = A$

$A \cap U = A$

• Ley de complemento:

${(A^C)}^C = A$

$U^C = \varnothing$

$\varnothing^C = U$

$A \cup A^C = U$

$A \cap A^C = \varnothing$

Proposición 3: dados los conjuntos A, B subconjuntos de U, se cumple:

• Ley de idempotencia:

$A \cup A = A$

$A \cap A = A$

• Ley de dominación:

$A \cup U = U$

$A \cap \varnothing = \varnothing$

• Ley de absorción:

$A \cup (A \cap B) = A$

$A \cap (A \cup B) = A$

• Ley de De Morgan

$(A \cup B)^C = A^C \cap B^C$

$(A \cap B)^C = A^C \cup B^C$

Ejemplo con dos conjuntos

Dados dos conjuntos A y B que pertenecen a U, y siendo Ø el conjunto vacío, podemos ver los distintos casos que se pueden dar, a modo de ejemplo del álgebra de conjuntos.

En la representación gráfica utilizaremos un rectángulo para representar el conjunto universal y un ovalo o un circulo para representar el resto de los conjuntos, la zona coloreada en verde es la que corresponde a la expresión representada.

• Caso 1

Este caso corresponde al conjunto universal y engloba a todos los conjuntos que lo forman.

$U \;$

• Caso 2

Corresponde a la unión de los conjuntos A y B, y engloba a los elementos que pertenecen al conjunto A o al B o a ambos simultaneamente.

$A \cup B \;$

• Caso 3

El resultado es, dentro del conjunto universal U, la unión de los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.

$A \cup B^C \;$

• Caso 4

Corresponde al conjunto A.

$A \;$

• Caso 5

Como se puede ver en la gráfica, es la unión de los elementos que no pertenecen a A y los que pertenecen a B.

$A^C \cup B \;$

• Caso 6

Son los elementos que pertenecen a B.

$B \;$

• Caso 7

Este caso, algo más complejo que los anteriores, esta formado por: la unión de los elemento de la intersección de A y B con la intersección de los complementos de A y B, o lo que es lo mismo es: la intersección de la unión de A y el complemento B con la unión del complemento de A y B.

$(A \cap B ) \cup (A^C \cap B^C) \quad \longleftrightarrow \quad (A \cup B^C ) \cap (A^C \cup B)$

• Caso 8

Corresponde a la intersección de A y B.

$A \cap B$

• Caso 9

Corresponde a la unión de los complementos de A y de B, o lo que es lo mismo: al complemento de la intersección de A y B.

$A^C \cup B^C \quad \longleftrightarrow \quad (A \cap B)^C$

• Caso 10

El resultado es la unión de, la intersección de A y el complemento de B, con la intersección del complemento de A y B.

$(A \cap B^C) \cup (A^C \cap B) \quad \longleftrightarrow \quad (A \cup B) \cap (A^C \cup B^C)$

• Caso 11

El resultado es el complemento de B.

$B^C \;$

• Caso 12

El resultado es la intersecció de A y el complemento de B.

$A \cap B^C \;$

• Caso 13

Es el complemento de A.

$A^C \;$

• Caso 14

El resultado es la intersecció del complemento A y de B.

$A^C \cap B \;$

• Caso 15

El resultado es la intersecció del complemento A y el complemento B, o lo que es lo mismo: el complemento de la unión de A y B.

$A^C \cap B^C \quad \longleftrightarrow \quad {(A \cup B)}^C$

• Caso 16

En este caso representamos el conjunto vacío.

$\varnothing \;$

Estos dieciséis casos son todas las combinaciones que se pueden realizar con dos conjuntos, las expresiones pueden tomar distintas formas pero serán equivalentes a las expresadas.

Referencias

• Barco Gómez, Carlos (2005). Álgebra Booleana. Aplicaciones tecnológicas. Universidad de Caldas. ISBN 9789588231389. 
• Larson, Harold J. (2002). Introducción a la teoría de probabilidades e inferencia estadística. Editorial Limusa. ISBN 9789681807306. 
• Nachbin, Leopoldo (1980). Introducción al álgebra. Reverté. ISBN 9788429150995. 
• Rivaud, J. (1981). Ejercicios de álgebra. ISBN 9788429151312. 

Véase también

• Teoría de conjuntos
• Teoría de axiomática de conjuntos
• Diagrama de Venn

Enlaces externos

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