Álgebra de conjuntos

En matemáticas, se denomina álgebra de conjuntos a las operaciones básicas que pueden realizarse con conjuntos, como la unión, intersección, etc.

Conjuntos

Operaciones con conjuntos

Un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Un conjunto está definido únicamente por los elementos que lo componen, y no por la manera en la que se lo representa.

Existe una serie de relaciones básicas entre conjuntos y sus elementos:

• Pertenencia. La relación relativa a conjuntos más básica es la relación de pertenencia. Dado un elemento x, éste puede o no pertenecer a un conjunto dado A. Esto se indica como x ∈ A.
• Igualdad. Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Este principio, denominado principio de extensionalidad establece el hecho de que un conjunto queda definido únicamente por sus elementos.
• Inclusión. Dado un conjunto A, cualquier subcolección B de sus elementos es un subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.

Operaciones con conjuntos

Las operaciones básicas del álgebra de conjuntos son:

• Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene todos los elementos de A y de B.
• Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.
• Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.
• Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A^∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen a A.
• Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer (segundo) elemento pertenece a A (a B).

Algunas de estas operaciones poseen propiedades similares a las operaciones con números. Por ejemplo, la unión y la intersección son conmutativas y asociativas. El conjunto vacío es el elemento neutro de la unión, y el elemento absorbente de la intersección y el producto cartesiano. El conjunto universal es el elemento neutro de la intersección y el elemento absorbente de la unión.

Además, las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento son muy similares a las operaciones en un álgebra de Boole, así como a los conectores lógicos de la lógica proposicional.

Referencias

• Barco Gómez, Carlos (2005). Álgebra Booleana. Aplicaciones tecnológicas. Universidad de Caldas. ISBN 9789588231389. 
• Larson, Harold J. (2002). Introducción a la teoría de probabilidades e inferencia estadística. Editorial Limusa. ISBN 9789681807306. 
• Nachbin, Leopoldo (1980). Introducción al álgebra. Reverté. ISBN 9788429150995. 
• Rivaud, J. (1981). Ejercicios de álgebra. ISBN 9788429151312. 

Véase también

• Teoría de conjuntos
• Teoría de axiomática de conjuntos

Enlaces externos

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