Función arcotangente |
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![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9a/Arctangent_Arccotangent.svg/300px-Arctangent_Arccotangent.svg.png)
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Definición |
![{\displaystyle \forall x\in (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cb2347e0bb8b44606d75446e466155d3809928e) |
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Tipo |
Trigonométrica inversa |
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Dominio |
![{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e577bfa9ed1c0f83ed643206abae3cd2f234cf9c) |
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Codominio |
![{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e577bfa9ed1c0f83ed643206abae3cd2f234cf9c) |
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Imagen |
![{\displaystyle \textstyle (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c8575faed3e563a898d3a40d05f7b3010058ffe) |
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Cálculo infinitesimal |
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Derivada |
![{\displaystyle {\frac {1}{x^{2}+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8f66e997fd1630b8112ba5f281ec5d75e64268f) |
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Función inversa |
![{\displaystyle \textstyle \operatorname {tg} (x)\quad x\in (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b8b1a32b19b4f877ed4a4aab5e7bdc0f028f96b) |
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Límites |
![{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\operatorname {arctg} (x)=-{\frac {\pi }{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0e2318fd7b6017f7782714f2c59b259e45f864f)
![{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\operatorname {arctg} (x)={\frac {\pi }{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2781c59e0b1939a0c2c7f2f3649e33d2d132fddc) |
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Funciones relacionadas |
arcocoseno arcoseno |
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En trigonometría, la arcotangente se define como la función inversa de la tangente de un ángulo. Simbolizada:
![{\displaystyle y=\operatorname {arctg} \alpha \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6018dfd31418551ecb28e9eb52508a36942bc92)
su significado geométrico es el arco
(en radianes) cuya tangente es
.
La función tangente no es biyectiva, por lo que no tiene función inversa definida en todo su dominio. Es posible aplicarle una restricción del dominio de modo que se vuelva inyectiva y sobreyectiva. Por convenio es preferible restringir el dominio de la función tangente al intervalo abierto
.
La notación matemática de la arcotangente es arctan; es común la escritura ambigua tan-1. En diversos lenguajes de programación se suelen utilizar las formas ATN, ATAN, ARCTAN, ARCTG y ATG.
Propiedades[editar]
Es una función continua y derivable, de clase
(es decir, existen sus derivadas de todos los órdenes).
Es una función impar, o sea que
.
Algunos valores especiales[editar]
![{\displaystyle \operatorname {arctg} (0)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c20af7d77a4059cdbe8fc3b721fbb5dcabc35fba)
![{\displaystyle \operatorname {arctg} \left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)={\frac {\pi }{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/041a0efbaab9e52cf19028175ad7378bffdfd2a4)
![{\displaystyle \operatorname {arctg} (1)={\frac {\pi }{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99bc2ae059ff77a81912d549ddbabd4a5ebbe382)
![{\displaystyle \operatorname {arctg} ({\sqrt {3}})={\frac {\pi }{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28a0a34410d9a1cfc664829aefc929f86123c895)
Límites en infinito[editar]
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\operatorname {arctg} (x)={\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fbf9e4ad2993d417b3910fe592a3ee996aeaa65)
![{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }\operatorname {arctg} (x)=-{\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e46ed86b6b60fcf677f0aa6f63395b301aedde71)
Derivadas y crecimiento[editar]
En particular, resulta ser una función estrictamente creciente.
, que es positivo en
y negativo en
.
Integral indefinida[editar]
Utilizando el método de integración por partes puede calcularse una función primitiva de
:
Serie de Maclaurin[editar]
![{\displaystyle \operatorname {arctg} x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para }}\left|x\right|<1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8820c4fe839f7fdf06269a1d3b36ec9e8a9390e)
Aplicaciones[editar]
En un triángulo rectángulo, la arcotangente equivale a la expresión en radianes del ángulo agudo correspondiente a la razón entre su cateto opuesto y su cateto adyacente.
Véase también[editar]
Enlaces externos[editar]