Diferencia entre revisiones de «Distribución de Landau»

Distribución de Landau
	; Función de densidad de probabilidad
Parámetros	— parámetro de escala ; — parámetro de locación
Dominio
Función de densidad (pdf)
Media	Indefinido
Varianza	Indefinido
Función generadora de momentos (mgf)	Indefinido
Función característica
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En teoría de la probabilidad, la distribución de Landau^[1] es una distribución de probabilidad nombrada en honor a Lev Landáu. Debido a la cola "pesada" de la distribución, los momentos de la distribución, como la media o la varianza, no están definidos. Esta distribución es un caso particular de distribución estable.

Definición

La función de densidad de probabilidad, como fue escrita originalmente por Landau, está definida por la integral compleja:

p(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{a-i\infty }^{a+i\infty }e^{s\log(s)+xs}\,ds,

donde a es un número real positivo arbitrario, lo que significa que la ruta de integración puede ser paralela al eje imaginario, intersectando el semi-eje real positivo, y log se refiere al logaritmo natural.

La siguiente integral real es equivalente a la anterior:

p(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-t\log(t)-xt}\sin(\pi t)\,dt.

La familia completa de distribuciones de Landau se obtiene al extender la distribución original a una familia de distribuciones estables con parámetros α = 1 y β = 1 ^[2], con la función característica^[3]:

\varphi (t;\mu ,c)=\exp \left(it\mu -{\tfrac {2ict}{\pi }}\log |t|-c|t|\right)

donde c ∈ (0, ∞) y μ ∈ (-∞, ∞), que produce una función de densidad:

p(x;\mu ,c)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\cos \left(t\left({\frac {x-\mu }{c}}\right)+{\frac {2t}{\pi }}\log \left({\frac {t}{c}}\right)\right)\,dt,

Observemos que la forma original de $p(x)$ se obtiene para μ = 0 y c = π / 2, mientras que la siguiente es una aproximación^[4] de $p(x;\mu ,c)$ para μ = 0 and c = 1:

p(x)\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {x+e^{-x}}{2}}\right).

Distribuciones relacionadas

Si $X\sim {\textrm {Landau}}(\mu ,c)\,$ entonces $X+m\sim {\textrm {Landau}}(\mu +m,c)\,$ .
La distribución de Landau es una distribución estable con parámetro de estabilidad α y parámetro de asimetría β ambos iguales a 1

Referencias

↑ Landau, L. (1944). «On the energy loss of fast particles by ionization». J. Phys. (USSR) 8: 201.
↑ Gentle, James E. (2003). Random Number Generation and Monte Carlo Methods. Statistics and Computing (2nd edición). New York, NY: Springer. p. 196. ISBN 978-0-387-00178-4. doi:10.1007/b97336.
↑ Zolotarev, V.M. (1986). One-dimensional stable distributions ([Nachdr.] edición). Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-4519-5.
↑ Behrens, S. E.; Melissinos, A.C. Univ. of Rochester Preprint UR-776 (1981).

[1] Landau, L. (1944). «On the energy loss of fast particles by ionization». J. Phys. (USSR) 8: 201.

[2] Gentle, James E. (2003). Random Number Generation and Monte Carlo Methods. Statistics and Computing (2nd edición). New York, NY: Springer. p. 196. ISBN 978-0-387-00178-4. doi:10.1007/b97336.

[3] Zolotarev, V.M. (1986). One-dimensional stable distributions ([Nachdr.] edición). Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-4519-5.

[4] Behrens, S. E.; Melissinos, A.C. Univ. of Rochester Preprint UR-776 (1981).

[1]

[2]

[3]

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 :<math>p(x) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{a-i\infty}^{a+i\infty} e^{s \log(s) + x s}\, ds , </math>
-donde ''a'' es un número real positivo arbitrario, lo que significa que la ruta de integración puede ser cualquier paralela al eje imaginario que intersecte el semi-eje real positivo, y <math>\log</math> se refiere al [[logaritmo natural]].
+donde ''a'' es un número real positivo arbitrario, lo que significa que la ruta de integración puede ser paralela al eje imaginario, intersectando el semi-eje real positivo, y log se refiere al [[logaritmo natural]].
 La siguiente integral real es equivalente a la anterior:
@@ Línea 25: / Línea 25: @@
 :<math>p(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty e^{-t \log(t) - x t} \sin(\pi t)\, dt.</math>
-La familia completa de distribuciones de Landau se obtiene al extender la distribución original a una familia de distribuciones estables  con parámetros de estabilidad <math>\alpha=1</math> y de asimetría <math>\beta=1</math> <ref>{{ cite book | last = Gentle | first = James E. | title = Random Number Generation and Monte Carlo Methods | edition = 2nd | publisher = Springer | location = New York, NY | date = 2003 | series=Statistics and Computing | isbn =978-0-387-00178-4 | doi = 10.1007/b97336 |page=196}} </ref>, con la [[función característica]]<ref>{{cite book|last1=Zolotarev|first1=V.M.|title=One-dimensional stable distributions|date=1986|publisher=American Mathematical Society|location=Providence, R.I.|isbn=0-8218-4519-5|edition=[Nachdr.]}}</ref>:
+La familia completa de distribuciones de Landau se obtiene al extender la distribución original a una familia de distribuciones estables  con parámetros ''α''&nbsp;=&nbsp;1 y ''β''&nbsp;=&nbsp;1 <ref>{{ cite book | last = Gentle | first = James E. | title = Random Number Generation and Monte Carlo Methods | edition = 2nd | publisher = Springer | location = New York, NY | date = 2003 | series=Statistics and Computing | isbn =978-0-387-00178-4 | doi = 10.1007/b97336 |page=196}} </ref>, con la [[función característica]]<ref>{{cite book|last1=Zolotarev|first1=V.M.|title=One-dimensional stable distributions|date=1986|publisher=American Mathematical Society|location=Providence, R.I.|isbn=0-8218-4519-5|edition=[Nachdr.]}}</ref>:
 :<math>\varphi(t;\mu,c)=\exp\left(it\mu -\tfrac{2ict}{\pi}\log|t|-c|t|\right)</math>
-donde <math>c\in (0, \infty)</math> y <math>\mu\in (-\infty, \infty)</math>, que produce una función de densidad:
+donde c ∈ (0, ∞) y μ ∈ (-∞, ∞), que produce una función de densidad:
 :<math>p(x;\mu,c) = \int_{0}^{\infty} e^{-t}\cos\left(t\left(\frac{x-\mu}{c}\right)+\frac{2t}{\pi}\log\left(\frac{t}{c}\right)\right)\, dt , </math>
-Observemos que la forma original de <math>p(x)</math> se obtiene para <math>\mu = 0</math> y <math>c =\frac{\pi}{2}</math> (ver gráfica), mientras que la siguiente es una aproximación<ref>{{ cite book | last = Behrens | first = S. E. | last2 = Melissinos | first2 = A.C. | title = Univ. of Rochester Preprint UR-776 (1981) }}</ref> de <math>p(x;\mu,c)</math> para <math>\mu = 0</math> y <math>c =1</math>:
+Observemos que la forma original de <math>p(x)</math> se obtiene para μ = 0 y c = π / 2, mientras que la siguiente es una aproximación<ref>{{ cite book | last = Behrens | first = S. E. | last2 = Melissinos | first2 = A.C. | title = Univ. of Rochester Preprint UR-776 (1981) }}</ref> de <math>p(x;\mu,c)</math> para μ = 0 and c = 1:
 :<math>p(x) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{x + e^{-x}}{2}\right).</math>
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 ==Distribuciones relacionadas==
 * Si <math>X \sim \textrm{Landau}(\mu,c)\, </math> entonces <math> X + m \sim \textrm{Landau}(\mu + m ,c) \,</math>.
-* La distribución de Landau es una distribución estable con parámetro de estabilidad <math>\alpha</math> y parámetro de asimetría <math>\beta</math> ambos iguales a 1
+* La distribución de Landau es una distribución estable con parámetro de estabilidad α y parámetro de asimetría β ambos iguales a 1
 == Referencias ==